析因試驗

析因試驗

析因試驗是考察某些條件(因子)對目標變數影響的試驗或實驗。設X是需通過試驗考察的經濟量或物理量——目標變數。在影響X的條件下,有可以控制的因素,還有大量無法控制的隨機因素。所要考察的影響目標變數且可以控制的條件,稱做因子或因素;因子的狀態、等級或數值,稱做因子水平。析因試驗,把各因子分別控制在若干不同水平上,而使其餘可以控制的條件保持不變,並對各種不同的因子水平組合(配方)分別進行試驗。只有一個因子的析因試驗,稱做單因子試驗;有兩個或兩個以上因子的試驗,稱做“多因子試驗”。考察r個因子每個因子各取m個水平的析因試驗,簡稱為“m型試驗”;這樣試驗的r個因子的每一種水平組合稱做“一個試驗點”;m型試驗共有m個試驗點;將m個試驗都實施的析因試驗稱做“全面試驗”,否則稱做“部分試驗”。方差分析法是分析多因子析因試驗最重要的統計方法。

基本介紹

  • 中文名:析因試驗
  • 外文名:factorial experiment
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:統計學(試驗設計)
  • 相關概念:方差分析法
  • 簡介:一種多因素的交叉分組試驗
  • 分類:單因子試驗、多因子試驗
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基本介紹

析因試驗是一種多因素的交叉分組試驗。它不僅可檢驗每個因素各水平間的差異,而且可檢驗各因素間的互動作用。兩個或多個因素間如存在互動作用,表示各因素不是各自獨立的,而是一個因素的水平有改變時,另一個或幾個因素的效應也相應有所改變;反之,如不存在互動作用,表示各因素具有獨立性,一個因素的水平有所改變時不影響其他因素的效應。下面介紹最簡單的兩因素析因試驗(以“2×2”為例)和較複雜的四因素析因試驗(以“2×2×3×2”為例)的設計及其分析方法。

2×2析因試驗

2×2設計表示有兩個因素,每個因素各有兩個水平,共有四個組合。如以A1表示A因素1水平,A2表示A因素2水平,B1表示B因素1水平,B2表示B因素2水平,各因素的水平之間逐個組合,即成2×2設計,其模型如下:
圖1圖1
2×2析因分析時,首先應對4個組合的試驗結果作方差齊性檢驗,如已滿足齊性要求,即可進行方差分析。方法如下:
(1)作檢驗假設。有兩種: 一是A因素或B因素的各水平間的比較,H0為A因素或B因素兩水平的總體均數相等,即μ1=μ2;二是分析A、B兩因素的互動作用,H0為兩因素間無互動作用,即彼良槓櫃此獨立。
(2)將總變異的離均差平方和SS及自由度v按變異來源分為A因素、B因素、互動作用A×B及誤差四部分。SSA和SSB的計算公式見條目“單因素多個樣本重漿端均數比較”。A、B兩因素互動作用的離均差平方和SSA×B的計算需先列副表,再用式(1)及式(2)。
式中SST(AB)為A、B兩因素副表總變異的離均差平方和;XA1B1為A因素1水平與B因素1水平組合的樣本觀察值,余類推;n為分子中每個合計所包含的例數,C'為校正數(C'區別於因素C)。自由度v的計算:總變異v=總例數-1,某因素v=該因素的水平數-1,互動作用v=有關因素的自由度之積,2×2析因分析中v均為1。
(3)分別計算各因素及互動作用料棵妹的均方MS(=SS/v),並與誤差的均方相比得F值。
(4)查F界值表得P值,按所取檢驗水準作出推斷結論。

2×2×3×2析因試驗

2×2×3×2設計,表示有四個因素,各因素依次有2、2、3、2個水平,共有2×2×3×2=24個組合。如以ABCD表示四個因素,A1、A2表示A因素的兩個水平,同樣,B1、B2,C1,、C2、C3,D1、D2分別表示B、C、D因素的各個水平,則2×2×3×2設計的模型如下:
圖2圖2
圖3圖3
圖4圖4
按此模型安排24個組合的試驗,每個試驗可根據試驗條件和具體要求規定重複次數,一般所取次數較少。對試驗結果應先作方差齊性檢驗,然後再作方差分析(參照2×2析因分析加以擴展):
單因素組間比較: A,B,C,D;
一級互動作用: A×B,A×C,A×D,B×C,B×D,C×D;
二級互動作用: A×B×C,A×B×D,A×C×D,B×C×D;
三級互動作用: A×B×C×D。
總共15次檢驗,目的在於得出各因素的最佳水平及其組合。
析因試驗能夠分析多種互動作用,以獲得豐富的結論,但當因素過多,因素中包括的水平又劃分過細時,將使互動作用的內容頭緒繁多,不但計辨夜微備算不便,而且對它們的具體解釋亦十分錯綜複雜。故除非必須良頸同時對某些因素進行研究外,一般宜採用較簡單的析因試驗。

析因試驗設計

析因試驗設計是指任意r(r≥1)個因子,每個因子取任意給定數目mi(i=1,2,店匪悼櫃…,r)水平的試驗的設計,分為全面析因試驗設計和部分實施析因試驗設計兩大類,其中因子的水平是可以控制的或者隨機選取的。每個因子各取一個水平,r個水平構成一個水平組合,總共有n=m1×…×mr個不同的水平組合 (亦稱試驗點或處理方法)。對每一水平組合至少進行一次試驗(對一個單元進行試驗)的設計,稱做全面設計,其優點是能考察全部主因子效應和全部互動效應,其缺點是工作最大甚至無法實施,結果也難以控制。1946年芬尼(D.J.Finney)提出了部分實驗法,即只挑選一部分有代表性的水平組合進行試驗的方法,欠芝閥其實質是忽略全部或大部不顯著互動效應(如,忽略全部三階及三階以上互動效應),正交拉丁方正交表就是部分實施的重要工具。
圖2圖2
圖3圖3
圖4圖4
按此模型安排24個組合的試驗,每個試驗可根據試驗條件和具體要求規定重複次數,一般所取次數較少。對試驗結果應先作方差齊性檢驗,然後再作方差分析(參照2×2析因分析加以擴展):
單因素組間比較: A,B,C,D;
一級互動作用: A×B,A×C,A×D,B×C,B×D,C×D;
二級互動作用: A×B×C,A×B×D,A×C×D,B×C×D;
三級互動作用: A×B×C×D。
總共15次檢驗,目的在於得出各因素的最佳水平及其組合。
析因試驗能夠分析多種互動作用,以獲得豐富的結論,但當因素過多,因素中包括的水平又劃分過細時,將使互動作用的內容頭緒繁多,不但計算不便,而且對它們的具體解釋亦十分錯綜複雜。故除非必須同時對某些因素進行研究外,一般宜採用較簡單的析因試驗。
析因試驗設計是指任意r(r≥1)個因子,每個因子取任意給定數目mi(i=1,2,…,r)水平的試驗的設計,分為全面析因試驗設計和部分實施析因試驗設計兩大類,其中因子的水平是可以控制的或者隨機選取的。每個因子各取一個水平,r個水平構成一個水平組合,總共有n=m1×…×mr個不同的水平組合 (亦稱試驗點或處理方法)。對每一水平組合至少進行一次試驗(對一個單元進行試驗)的設計,稱做全面設計,其優點是能考察全部主因子效應和全部互動效應,其缺點是工作最大甚至無法實施,結果也難以控制。1946年芬尼(D.J.Finney)提出了部分實驗法,即只挑選一部分有代表性的水平組合進行試驗的方法,其實質是忽略全部或大部不顯著互動效應(如,忽略全部三階及三階以上互動效應),正交拉丁方正交表就是部分實施的重要工具。

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