李理論中的Schur-Weyl 對偶

《李理論中的Schur-Weyl 對偶》是依託同濟大學，由芮和兵擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：李理論中的Schur-Weyl 對偶
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：芮和兵
• 依託單位：同濟大學

中文摘要

本項目研究李代數、量子群與結合代數的表示理論及其交叉。主要內容包括：研究李理論中出現的有限維代數的結構與表示理論,涉及Birman-Murakami-Wenzl 代數、分圓Birman-Murakami-Wenzl代數的(階化)結構與(階化)表示理論；研究仿射walled Brauer代數、高階分圓walled Brauer代數的模範疇與一般線性李超代數的模範疇之間的內在聯繫；研究量子一般線性超群的一些特殊表示的張量積的分解等。這些均是表示論中的基本問題，其研究結果將極大地促進李代數、量子群和結合代數的表示論發展和交叉。

結題摘要

本項目主要研究了與李代數、代數群、量子群有關的有限維代數的結構與表示理論。 在項目執行期間內， 得到下列研究成果：引入了仿射walled Brauer代數和它的分圓商代數， 建立了一般線性李超代數的有限維模範疇與level two 分圓walled Brauer代數的表示範疇之間的橋樑。 作為套用，給出了一般線性李超代數中的一類混合張量積所含最高權向量的分類；2. 通過單位根處典型量子群的有限維模範疇域帶有特殊參數的Birman-Murakami-Wenzl代數之間的Schur-Weyl對偶， 完全解決了定義在複數域上的Birman-Murakami-Wenzl代數的分解數問題；3. 系統研究了l量子walled Brauer代數的表示理論，給出了這類代數的不可約表示的分類， 通過單位根處量子一般線性群的不可分解Tilting模的結構， 確定出量子walled Brauer代數的不可約表示在cell表示中的重數， 從而計算出定義在複數域上的量子walled Brauer代數的不可約表示的維數；4. 引入了仿射Brauer範疇以及它的商範疇， 建立了分圓Nazarov-Wenzl代數與B、C、D型李代數的拋物範疇O之間的聯繫， 從而利用Tilting模的特徵標公式，解決了定義在複數域上的分圓Nazarov-Wenzl代數的分解數問題；5. 引入並研究了仿射walled Brauer-Clifford超代數與它們的商代數， 建立了Q型李超代數與這些結合超代數之間的聯繫；6. 通過一般線性李代數與一般線性李超代數的拋物範疇之間的精確的關係， 給出了用不同方式刻畫的退化分園Hecke代數的不可約表示之間的同構。 這個結果精確地刻畫出關於退化分園Hecke代數的廣義Mullineaux對合映射。此外，我們還得到另外一些結果，包括關於Brauer範疇代數的K群的範疇化， 仿射Kauffman範疇與分園Kauffman範疇、量子辛、正交群的拋物範疇O與分園Birman-Murakami-Wenzl代數之間的對偶。 這些研究成果尚未發表， 將在項目負責人的下一個面上項目中詳細匯報。