《量子群與有限維代數的表示理論》是依託上海交通大學，由司梅擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：量子群與有限維代數的表示理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：司梅
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在主持青年科學基金項目期間，我們完全解決了分圓BMW代數的半單性和BMW代數的Morita等價問題，分別刻畫了在Hecke代數半單時BMW代數、Ariki-Koike代數半單時分圓BMW代數和退化Hecke代數半單時分圓Nazarov-Wenzl代數的不可約表示的塊分類。作為後續研究工作，本項目將研究在其餘情況下這幾類有限維代數的不可約表示的塊分類；解決分圓BMW代數和分圓Nazarov-Wenzl代數的Morita等價問題；擬刻畫這些有限維代數的cell模的合成因子、分解數等；通過這些有限維代數與量子群範疇理論之間的聯繫，嘗試給出KLR-Brauer和KLR-BMW代數的定義並研究其表示。我們還將研究幾類型量子包絡代數的典範基。這些問題都是表示論中的基本問題，其研究結果將有助於深入刻畫量子群與有限維代數的表示理論之間的聯繫。
結題摘要
本項目主要研究一些與 Hecke 代數相關的代數結構與表示理論以及量子包絡代數的典範基。例如分圓 Birman-Murakami-Wenzl 代數、分圓 Quiver Hecke 代數、仿射 Walled Brauer 代數、量子包絡代數的緊單項式等。該項目中所研究的這些代數都與李代數、量子群有著密切地聯繫。 首先，我們解決了分圓 Birman-Murakami-Wenzl 代數的 Morita 等價問題，該問題是代數表示理論研究的基本問題之一。所謂的 Morita 等價是兩個代數的模範疇的等價。通過這些代數的 Morita 等價，可以反映出它們的表示理論之間的聯繫。 其次，我們研究分圓 Quiver Hecke 代數的結構和表示。Quiver Hecke 代數是2008年由 Khovanov，Lauda 與 Rouquier 分別引入的，這類代數是由一些生成元和生成關係生成的Z分次代數，並且範疇化量子群的負部分。我們研究分圓 Quiver Hecke 代數的中心結構，進而刻畫其 blocks 分類等表示理論。 另外，我們還研究仿射 Walled Brauer 代數的有限維不可約表示的分類以及分圓 Walled Brauer代數的分次結構。Walled Brauer 代數是 Brauer 代數的子代數，它是由 Koike 與 Turaev 分別引入的，目的是為了研究 Walled Brauer代數與一般線性群的 Schur-Weyl 對偶。我們得出了代數閉域上仿射 Walled Brauer 代數的有限維不可約表示的分類，並嘗試刻畫分圓 Walled Brauer 代數的分次結構以及它與李代數、量子群之間的聯繫。類似地，我們研究 Birman-Murakami-Wenzl 代數的分次結構和表示理論。嘗試證明它是分次 cellular 代數，進而利用分次 cellular 代數的性質和表示理論結果，刻畫分次 Birman-Murakami-Wenzl 代數的結構和表示理論。 最後，我們研究量子群與量子超群的典範基，它們具有很好的性質，在表示理論中有很重要的套用。研究對應B3型量子包絡代數的 Lusztig 錐，寫出了其全部緊單項式，即給出典範基中單項式形式的元素，完整地刻畫了B3型量子包絡代數的全部緊單項式。
