《代數群和量子群中的若干問題》是依託同濟大學，由付強擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：代數群和量子群中的若干問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：付強
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
我們利用擴張的仿射A型Weyl群的理論已經完全的解決了仿射A型李代數的包絡代數的BLM實現問題. 類似的我們希望能夠利用擴張的仿射A型Hekce代數的理論去研究量子仿射gln的BLM實現問題. 在仿射的情況, 我們通過引入Double Hall代數的方法證明了量子仿射gln到仿射q-Schur代數的自然代數同態在域Q(v)上是滿同態, 其中Q是有理數域, v是不定元. 我們希望能夠把這個結果做到整的上面去, 更精確的說, 我們就是研究如何構造量子仿射gln的適當的整形式U, 使得U在仿射q-Schur代數中的像恰好是整的仿射q-Schur代數.我們還要研究仿射q-Schur代數的生成元和關係式以及小q-Schur的表示理論.並且我們還將研究分次Hecke代數和分次BMW代數.
結題摘要
我們證明了量子仿射sln可以嵌入到仿射q-Schur代數的直積當中, 並在一定程度上刻畫了量子仿射sln的像, 並且我們提出了一個關於量子仿射gln的BLM實現的猜想. 相關結果發表在2010年的Math. Z.上. 國際上關於量子仿射gln和仿射q-Schur代數的研究有許多研究論文, 其中大部分工作用的都是幾何方法. 最近, 我們用代數的方法對於量子仿射gln和仿射q-Schur代數進行了系統的研究, 完成了一篇長達207頁的長篇研究論文, 這篇文章已被London Mathematical Society Lecture Note Series作為專著於2012年底正式出版. 在這本專著中, 我們解決了如下幾個問題: 通過引入Double Hall代數的方法證明了有理函式域上的量子仿射gln 到仿射q-Schur 代數的自然代數同態是滿射; 利用該結果以及仿射A 型Hecke 代數和量子仿射gln的表示理論, 給出了仿射q-Schur 代數在非單位根時的有限維不可約模分類, 並且利用仿射對稱群的理論解決了仿射gln 的普遍包絡代數的BLM 實現問題, 從而證明了當v=1時, 我們在這之前提到的BLM實現猜想成立. 另外我們在這方面還有一些後續工作, 相關結果我們已經放到arXiv網上.量子gl_2的張量空間是量子gl_2的一類非常重要的模, 因為它包含量子gl_2的許多重要信息. 我們利用小q-Schur代數的表示理論研究了量子gl_2的張量空間作為無窮小量子群的自同態代數在奇數次單位根時的基代數結構, 相關結果發表在2011年的Journal of Mathematical Physics上. 小q-Schur代數是一類重要的有限維代數, 小q-Schur代數與q-Schur代數的關係類似於無窮小量子gln與量子gln的關係. 我們給出了小q-Schur代數的不可約模的分類, 並給出了它的半單性的分類和奇次單位根時有限表示型的分類, 相關結果發表在2012年的太平洋雜誌上. 司梅給出分圓Birman-Murakami-Wenzl代數的參數是奇異的判別準則，證明了當參數非奇異時分圓Birman-Murakami-Wenzl代數Morita等價於某些Ariki-Koike代數的直和. 這些結果正在整理當中.
