《量子測度與量子積分理論中的若干問題》是依託哈爾濱工業大學，由雷強擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：量子測度與量子積分理論中的若干問題
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：雷強
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
量子測度與量子積分是量子力學的數學基礎之一，是目前量子信息、量子通訊等重點科學問題的重要的理論依據。.由於在微觀世界中，量子之間相互干擾，相互糾纏，對一個子系統的測量結果無法獨立於其他子系統的測量參量，因此，在量子世界中，測度不再滿足可加性。為了克服此缺陷，我們將集函式的自連續性，一致連續性，零可加性，偽零可加性等性質引入到量子測度當中，用以刻劃量子測度的巨觀與微觀結構；研究量子測度的Hahn分解，Jordan分解，Radon-Nikodym定理及Radon-Nikodym導數等問題；同時，進一步研究量子積分的運算性質，收斂定理及如何由量子積分來定義量子測度；為了弄清高維量子測度與低維量子測度之間及量子重積分與量子累次積分之間的關係，將開展對乘積量子測度的研究，得到類似於Fubini定理的結果。
結題摘要
量子信息學是一門以量子力學原理解決經典信息學和經典計算機所不能解決的問題的學科，是量子力學和信息學的交叉科學。由於其潛在的套用價值和重大的科學意義，量子信息學最近十幾年來迅速發展，正在引起各方面越來越多的關注。量子測量理論是研究量子資訊理論中其它問題的出發點。為了研究量子測量理論，數學家Gudder引入序列乘積的概念，即對量子效應A和B，定義$A\circ B=A^{1/2}BA^{1/2}$ ，其物理意義為先測量A，再測量B，它描述了量子力學中量子測量對於量子的干擾。物理背景要求此序列乘積關於強運算元拓撲是二元連續的。而作為量子邏輯重要的內蘊拓撲，如弱運算元拓撲、序拓撲、區間拓撲等，能否使得序列乘積具有連續性，我們進行了深入詳細的討論，給出了較完善的結論。 Schur-Weyl對偶理論在量子信息和量子計算理論中起著重要的作用，而且在數學的不同分支中也都有重要的套用。經典的Schur-Weyl對偶定理如下：設$\mathcal{A}=Alg\{Q(U):U\in U(d)\}$, $\mathcal{B}=Alg\{P(\pi):\pi\in S_n\}$，則$\mathcal{A}'=\mathcal{B}$ and $\mathcal{B}'=\mathcal{A}$. 特別是在2013年，Marvian等人利用規群的定義，建立了一個廣義的Schur-Weyl對偶，提升了經典的Schur-Weyl對偶。我們建立了一個新的廣義Schur-Weyl對偶理論，包含了經典的Schur-Weyl對偶和現有的廣義Schur-Weyl對偶，進一步擴大了該理論的套用範圍。 可觀測量是用Hilbert空間上自伴運算元來描述。 2006年，數學家Gudder研究了有界自伴運算元集合$S_b(\mathcal{H})$，並證明其構成了一個量子邏輯。然而，很多可觀測量只能用無界自伴運算元來描述。例如，在著在著名的Heisenberg關係中， $QP-PQ=-i\hbar I$，其中Q和P都是無界自伴的。我們主要作了如下方面的工作：建立了包含無界量子觀測的量子邏輯；給出了其上的邏輯序和通常序，並對兩個偏序進行了研究；給出了邏輯序的物理解釋；證明了量子觀測的上、下確界的存在性；利用Heisenberg關係證明了$Q\wedge P=0$。
