李亞普諾夫定理

李亞普諾夫定理是關於實矩陣特徵值的一個命題，對n階實矩陣A和n階正定矩陣C，若存在正定矩陣B，使得AB+BA′=-C，則A的特徵值的實部必全小於零，這個定理由李亞普諾夫(А.М.Ляпунов)提出，在運動穩定性理論中起著重要的作用。

基本介紹

• 中文名：李亞普諾夫定理
• 外文名：Liapunov’s theorem
• 所屬學科：數學
• 提出者：李亞普諾夫
• 簡介：關於實矩陣特徵值的一個命題

基本介紹

李亞普諾夫定理是數學生態學的重要定理之一，是判定系統穩定性質的重要定理，對於複雜生態系統

設有正平衡點x*，x*∈Ω⊂R₊，若在區域Ω內定義的函式V(x)對於系統具有性質：

1.V(x*)=0，並且x*是V(x)在Ω內惟一整體最小值；

2.在Ω內，對每一個正值K，曲面族V(x)=K都是閉曲面；

3.導數

對於所有x∈Ω是非正的；則稱函式V(x)是系統在Ω內的李亞普諾夫函式。

李亞普諾夫定理斷言：若系統有正平衡點x*∈Ω，如果存在李亞普諾夫函式V(x)，在Ω內dV/dt是負定的，則x在區域Ω內為漸近穩定的(即以Ω內任意點為初值的解，當t→∞時趨於x*)，特別當Ω≡R₊時，x*稱為全局漸近穩定的。

相關說明

定理1（李亞普諾夫定理） A的所有特徵值都具有負實部,或等價地說， 的零狀態是漸近穩定的，若且唯若對於任意給定的正定埃爾米特矩陣N，矩陣方程

具有唯一的埃爾米特解M，並且M是正定的。

系1 A的所有特徵值都具有負實部，或等價地說， 的零狀態是漸近穩定的，若且唯若對於任意給定的，具有{A，N}可觀測之性質的，半正定埃爾米特矩陣N，矩陣方程

有唯一的埃爾米特解M，並且M是正定的。

定理1和系1的含義是，若A是漸近穩定的，且N正定或半正定，則(1)式的解M必為正定，但這並不是說，若A是漸近穩定且M是正定，由(1)式算得的矩陣N是正定或半正定的。

因定理1對於任何正定埃爾米特矩陣N均成立,故(1)式中的矩陣N常選為單位矩陣，由於M是埃爾米特矩陣，故其中有n個未知數需要求解，若M是實對稱矩陣，則其中有n(n+1)/2 個未知數需要求解。因此，矩陣方程(1)實際上包含有n個線性代數方程，為了套用定理1，我們必須對M求解n個方程，隨後核查M是否正定，這些工作實非易事，因此，定理1及其系一般並不用來確定 的穩定性。然而，套用李亞普諾夫第二法研究非線性時變系統的穩定性時，定理1卻是至關重要的。

圖1 李亞普諾夫函式

現對李亞普諾夫定理作物理的解釋，若埃爾米特矩陣M是正定的，則

V(x) x*Mx， (2)

的曲面呈碗形，如圖1所示.現在構想，沿著 的軌跡連續求取V的值，我們想知道，隨著狀態沿軌跡移動時， V的值是增加還是減小，沿著 的任何軌跡取V關於t的導數，得

其中N -(A*M+MA)。上式給出了 V(x)沿著 的任一軌跡的變化率。若N是正定的，則-x*(t)Nx(t)恆為負，這就意味著，沿 的任何軌跡，V(x(t))將隨時間而單調下降，所以，當t→∞時，V(x(t))最終將趨於零，因V(x)為正定，故僅在x=0時有V(x)=0，由此斷定，若能找到以(1)式相互聯繫的正定矩陣M和N，則當t→∞時， 的每一個軌跡將趨於零向量。函式V(x)稱為 的李亞普諾夫函式，李亞普諾夫函式可以認為是距離或能量概念的推廣。如果狀態的“距離”沿著 的任何軌跡隨時間而減小，則當t→∞時，x(t)必將趨於零。