分數階動力系統的二個重要問題

《分數階動力系統的二個重要問題》是依託上海大學，由李常品擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：分數階動力系統的二個重要問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李常品
• 依託單位：上海大學

中文摘要

分數階動力學是經典動力學和分數階微積分結合的必然產物，它是刻畫記憶過程和遺傳特性的有效工具。現已發現，分數階動力學在粘彈性力學、流變學等方面有重要套用。本項目擬研究分數階動力學的二個重要問題：分數階微分系統的靜態分岔和混沌同步。具體內容如下：(1)建立分數階微分系統的中心流形定理，將經典的李雅普諾夫-施密特約化方法推廣到分數階微分系統。運用分數階中心流形定理和推廣的李雅普諾夫-施密特約化方法，研究單參數高維分數階微分系統的跨臨界、摺疊點、音叉、Hopf等典型靜態分岔。建立一套比較完整的靜態分岔理論的框架體系。(2)發展分數階微分系統的穩定性理論，將之套用到分數階微分系統的混沌同步，重點研究分數階混沌系統的廣義同步和相同步，建立一套比較完整的分數階微分系統廣義同步和相同步的穩定性分析方法。通過本項目的研究，推動分數階動力學理論的深入發展，為現實套用奠定堅實的理論基礎和提供技術支持。

結題摘要

近年來，動力學研究領域裡出現了一個新的研究方向即分數階動力學，它是動力學理論和分數階微積分結合的必然產物。動力學是熟知的研究課題，但分數階微積分可能比較陌生。實際上分數階微積分(包括分數階微積分和分數階積分)的理論可以追溯到1695 年9 月30 日萊布尼茲寫給洛必塔的一封信中所提到關於1/2 階導數的想法。但在相當長的一段時間裡，除了在流變學中的零星套用外，分數階微積分主要是作為數學領域的純理論而被數學家所使用。近幾十年，分數階微積分在粘彈性力學、流變學、非牛頓流體、反常擴散等中有潛在的套用價值。 顧名思義，分數階動力學就是指是在分數階微積分和動力系統等數學理論的基礎上，運用理論分析和數值仿真方法研究分數階系統的穩定性、混沌、分岔、同步等相關內容。本項目主要研究分數階動力學的二個重要問題：(1) 建立分數階微分系統的約化方法—中心流形定理和李雅普諾夫-施密特約化方法，這為研究高維分數階微分系統的靜態分岔提供有利的工具；(2) 研究分數階微分系統的穩定性，並將之套用到分數階微分系統(分數階網路)的混沌同步。 主要研究成果如下：(1) 建立了分數階動力系統的中心流形定理，並給出了分數階中心流形的逼近公式，該結果發表在ASME會刊上。運用隱函式定理和Fredholm擇一性原理建立了分數階動力系統的李雅普諾夫-施密特約化方法，得到了帶參數的分岔方程，該結果亦發表在ASME會刊上。(2) 建立了分數階微分方程解的延拓定理，該結果發表在Electron J Diff Equ上。建立了分數階網路的脈衝同步、牽引同步、自適應同步的各種判據，這些工作發表在Chaos、IEEE/CAA J Automat Sin等雜誌上。此外，研究了分數階微積分的數值方法和阿達馬型分數階微積分的性質，這些工作發表在SIAM Journals、Fractals等雜誌上。