本性奇點

在複分析中，一個函式的本性奇點（Essential Singularity）又稱本質奇點，是奇點中的“嚴謹”的一類。

基本介紹

• 中文名：本性奇點
• 外文名：Essential Singularity
• 類屬：數學
• 別名：本質奇點
• 條件：奇點為孤立奇點
• 本質：一個確定點

定義

如果函式 在其孤立奇點b的一個去心鄰域內展開成洛朗級數，其中含有無窮多個(z-b)的負冪項，則稱b點為 的本性奇點。這與前面的定義是一致的，因為如果 時函式 在b點鄰域內展成的洛朗級數含有有限個(z-b)的負冪次項，那么，若 在b點的洛朗展開式含有無窮多個(z-b)的負冪次項，則極限 必然不存在，而這正是前面給出的本性奇點定義。例如，函式 ，當z=0時其值不確定，而在z=0的鄰域內解析，所以z=0是 的孤立奇點。它展開成冪級數為

含有無限多個負冪項，所以z=0是它的本性奇點。

又如，z=1是函式 的孤立奇點，當 時，該函式的極限不存在，且不為 ，所以z=1是該函式的本性奇點。也可以在 環域內將該函式展開成洛朗級數

可見，上式有無窮多個(1一z)的負冪項。所以z=1是該函式的本性奇點。

本性奇點的特性

定理1(維爾斯特拉斯定理) ：設 為函式 的孤立奇點，則 為 的本性奇點的充分必要條件是：對於任何複數A(包括無窮)，一定存在收斂於 的序列 ，使得 ．

換句話說，在本性奇點的無論怎樣小的鄰環內， 可以任意接近預先給定的任何有限數或趨於無窮．

證 ： 由本性奇點定義可知，條件的充分性是明顯的，以下證明必要性．

(1)若 ，我們要證明存在一個收斂於 的序列 ，使得 ．事實上，因為 是 的本性奇點，所以 在 的鄰環內無界。也就是說，對於任意正整數n，都可以找到點 滿足 ，使得 .於是，有一個趨於 的序列{%)，使

(2)若A是任意有限複數．如果在 點的任意小的鄰環內均存在z點，使得 ，則顯然有一個趨於 的序列 ，使 ．如果存在 的一個鄰環，在其中．則函式在這個鄰環內解析，並且可以證明是的本性奇點．事實上，如果是的可去奇點或極點，則當時趨於有限數或無窮大．從而，當時趨於有限數，與為的本性奇點的假設矛盾．於是，根據(1)的證明，必存在趨於的序列，使得．因此，．定理證畢。

定理2(畢卡定理) ： 如果為的本性奇點，則對於每一個有限複數 A(至多有一個例外值)，均有趨於的點列，使。