皮卡例外值

皮卡例外值

皮卡例外值是整函式理論的一個概念,對任一超越整函式至多有一個有窮的皮卡例外值,對超越亞純函式至多有兩個皮卡例外值。

基本介紹

  • 中文名:皮卡例外值
  • 外文名:exceptional value of Picard
  • 適用範圍:數理科學
定義,皮卡小定理,皮卡大定理,

定義

皮卡例外值是整函式理論的一個概念,使
僅有有限多個零點的值 a 稱為皮卡例外值。
根據皮卡定理,對任一超越整函式至多有一個有窮的皮卡例外值,對超越亞純函式至多有兩個皮卡例外值。例如,
以 0 為有窮皮卡例外值,
無有窮皮卡例外值。
亞純函式
為皮卡例外值,外爾斯特拉斯橢圓函式 𝒫 (z)無皮卡例外值。

皮卡小定理

皮卡定理可以指兩個不同的數學定理,它們都是關於解析函式的值域。
皮卡小定理說明,如果函式f(z)是整函式且不是常數,則f(z)的值域或者是整個複平面,或者只去掉一個點。
這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理:任何不是常數的整函式都一定是無界的。

皮卡大定理

皮卡大定理說明,如果f(z)在點w具有本性奇點,那么在任何含有w的開集中,對任意非∞的複數值A,有無窮多個z使得f(z)=A,A最多只有一個例外。 以上定理是說,全純函式在本性奇點的任意鄰域內,“無窮多次”地取到每一個有限的復值,至多有一個例外值。 這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理,它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。
這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的:指數函式ez是一個整函式,永遠不能是零。e1/z在0處具有本性奇點,但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的,可以套用於亞純函式:如果M是一個黎曼曲面,w 是M上的一個點,P1C = C∪{∞}表示黎曼球面,f : M \ {w} → P1C是一個全純函式,在w處具有本性奇點,那么在M的任何含有w的開子集中,函式f都可以取得除了兩個點以外的所有P1C的點。
例如,亞純函式f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點,在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞;但它無法取得0或1的值。
皮卡小定理可以從皮卡大定理推出,因為整函式要么是多項式,要么在無窮遠處具有本性奇點。

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