波萊爾例外值

基本介紹

波萊爾例外值(exceptional value of Borel)是整函式亞純函式理論的一個概念，使

的零點的收斂指數小於函式的級的值a稱為波萊爾例外值。它亦能敘述為下面的形式：設

是

在

內的零點數(按重級計算)，若

小於

的級ρ，則稱

為

的波萊爾例外值，波萊爾定理斷言，對於整函式至多有一個波萊爾例外值，對亞純函式至多有兩個波萊爾例外值。

波萊爾定理(Borel theorem)是關於整函式值分布的重要定理，1897年為波萊爾(Borel，(F.-É.-J.-)É.)所證明。定理敘述如下：設

是有窮ρ級整函式，則對一切

都有

至多可能除去一個例外值a，式中

是

在

內之零點個數(按重級計算)。此定理大大推進了皮卡定理，因為根據皮卡定理只知道

有無窮多個根，但並不知道其稠密程度。波萊爾定理顯示了有窮級整函式值分布的對稱性，即除去可能有一個a值以外，所有的a值點數能由函式的增長速度來確定。關於亞純函式的波萊爾定理可敘述如下：設

是有窮ρ級的亞純函式，則對一切

都有(1)式成立，至多可能除去兩個例外的a。