皮卡小定理

簡介

皮卡定理是兩個不同的數學定理的泛稱，由法國數學家埃米爾·皮卡證明。這兩個定理都涉及解析函式的值域。皮卡小定理說明，如果函式f(z)是整函式且不是常數，則f(z)的值域或者是整個複平面，或者只去掉一個點。這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理：任何不是常數的整函式都一定是無界的。

皮卡小定理說明，如果函式f(z)是整函式且不是常數，則f(z)的值域或者是整個複平面，或者只去掉一個點。這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理：任何不是常數的整函式都一定是無界的。

皮卡的原始證明利用了模函式（Modular lambda function）。證明概要如下：若f(z)的值域不包含複平面上的兩個點，不失一般性地，可以假設f(z)的值域不包含0和1，設

是其值域中的點，在這個點附近，可以選取模函式

的逆的某個單值解析分支，記作

。利用模函式的通用覆蓋性和單值性定理，可以將

點（

）附近定義的複合映射

解析延拓到整個複平面上，從而得到一個在複平面上單值解析但有界的函式。根據劉維爾定理，該函式為常函式。因此

也是常函式。

皮卡大定理說明，如果f(z)在點w具有本性奇點，那么在任何含有w的開集中，f(z)都將取得所有可能的複數值，最多只有一個例外。

這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。

這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的：指數函式e是一個整函式，永遠不能是零。e在0處具有本性奇點，但仍然不能取得零。
皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的，可以套用於亞純函式：如果M是一個黎曼曲面，w是M上的一個點，PC=C∪{∞}表示黎曼球面，f:M\{w}→PC是一個全純函式，在w處具有本性奇點，那么在M的任何含有w的開子集中，函式f都可以取得除了兩個點以外的所有PC的點。
例如，亞純函式f(z)=1/(1−exp(1/z))在z=0處具有本性奇點，在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞；但它無法取得0或1的值。
皮卡小定理可以從皮卡大定理推出，因為整函式要么是多項式，要么在無窮遠處具有本性奇點。