有界集

定義

有界集(bounded set)是一類重要的集合，指可以被有界區間包含的實數集，也就是被長度有限的區間包含的集合。

“有界”和“邊界”是不同的概念，後者看到邊界（拓撲）。孤立的圓是無邊界的有界集合，而半平面是無界的，但是具有邊界。

在數學分析和相關的數學領域，一個集合被稱為有界的，如果它在某種意義上是有限的大小。相反，沒有界限的集合被稱為無界。在沒有度量的一般拓撲空間中，有界的詞無意義。

如果存在實數k，則將S的實數稱為有界，使得對於S中的所有s，k≥s。數k被稱為S的上界。從下面和下限界定的術語也是類似的定義。如果集合S具有上限和下限，則它是有界的。因此，如果一組實數被包含在一個有限的間隔內，則它是有界的。

度量空間（M，d）的子集S如果包含在有限半徑的球中是有界的，即如果在M和r> 0中存在x，使得對於S中的所有s，我們有d（x， s）<r。（M，d）是有界度量空間（或d是有界度量），如果M被界定為自身的子集。

總有界意味著有界。對於的子集，兩者相當。

若且唯若它完整且完全有界時，度量空間是緊湊的。

的子集若且唯若它是封閉和有界的時才是緊湊的。

在拓撲向量空間中，存在對有界集合的不同定義，有時稱為馮諾依曼邊界。如果拓撲向量空間的拓撲由均勻的度量引起，如在由標準向量空間範數引起的度量的情況下，則兩個定義重合。

若且唯若具有上限和下限時，一組實數是有界的。該定義可擴展到任何部分有序集合的子集。請注意，這個更一般的有界概念不符合“大小”的概念。

如果在P中存在一個元素k，則部分有序集合P的子集S被稱為界限，使得S中的所有s的k≥s。元素k被稱為S的上限。下面和下面的概念綁定的定義類似。

部分有序集合P的子集S如果同時具有上限和下限，則被稱為邊界，或者等價地，如果它包含在間隔中。注意，這不僅僅是集合S的屬性，而是集合S中的一個作為P的子集。

有界的偏序集P（即本身不作為子集）是具有最少元素和最大元素的偏序集。注意，這種有界限的概念與有限大小無關，並且有限的偏序集 P的子集S以P的順序的限制不一定是有界的偏序集。

的子集S相對於歐幾里德距離是有界的，若且唯若它被定義為具有乘積順序的Rn的子集時。然而，S可能被定義為具有詞典序列的的子集，而不是關於歐幾里德距離。

一類序數據說是無界的，或者是合法的，當給出任何序數時，總是有一些類的元素大於它。因此，在這種情況下，“無界”並不意味著無限自己，而是作為所有序數的類的子類而無界。