完全有界集是指距離空間中的一類子集。度量空間中的列緊集一定是完全有界的,而在完備度量空間中,完全有界性與列緊性等價。
基本介紹
- 中文名:完全有界集
- 外文名:Totally bounded set
- 適用範圍:數理科學
定義,性質,距離空間,
定義
完全有界集是指距離空間中的一類子集。
完備度量空間X的某個子集M是相對緊的,若且唯若M在這種意義下是完全有界的:對於每個ε>0,M中都存在有限個點m1,m2,……,mn,使得M的每個點m到m1,m2,……,mn的距離至少有一個小於ε。換句話說,M是完全有界的,如果對於每個ε>0,M都可以被有限個其球心屬於M而半徑小於ε的開球所覆蓋。
性質
1、R中任一有界點集都是完全有界的;
2、距離空間中,完全有界集一定為有界集;
3、距離空間(X,ρ)中的任一列緊集一定是完全有界集。反之,若(X,ρ)是完備的距離空間,則X中任一完全有界集一定是列緊集。
距離空間
度量空間(Metric Space),在數學中是指一個集合,並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。
在度量空間中,緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理,是豪斯多夫空間,完全正規空間,仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理,但一般不是豪斯多夫空間。