有理曲線

有理曲線是曲線中最簡單的一種。 所謂有理曲線， 就是和射影直線同構的光滑曲線，它的虧格是0。雖然有理曲線和射影直線同構， 但這不意味著它在射影平面上是一條直線， 比如射影平面中由齊次方程z^2=xy定義的直線是二次曲線， 但這條曲線是有理曲線。在工程曲線曲面的計算機輔助設計中，有理曲線是一種逼近形式，有很好的幾何直觀性，通過對控制頂點的調整，即可實現對曲線形狀的控制，同時有理曲線上每個頂點上的權因子又為形狀控制提供了新的自由度。

基本介紹

• 中文名：有理曲線
• 外文名：rational curve
• 定義：虧格式0的代數曲線就是有理曲線
• 性質1：有理曲線的虧格是0
• 性質2：有理曲線和射影直線同構
• 套用學科：代數曲線

簡介

有理曲線是為了統一表示自由曲線和圓錐曲線而發展起來的，它與普通Bezier曲線，B-Spline曲線一樣，是一種逼近形式，有很好的幾何直觀性，通過對控制頂點的調整，即可實現對曲線形狀的控制，同時有理曲線上每個頂點上的權因子又為形狀控制提供了新的自由度。綜合使用以權因子為基礎的方法和以控制頂點為基礎的方法可以對曲線形狀進行更為直觀、快速準確的控制，在飛機、輪船、汽車等複雜外形產品的幾何設計中有實用價值。

定義

表述一

在代數曲線中，其上的點的坐標可用一個參數的有理函式表示的曲線，稱為有理曲線。已經證明，多重點至多為 個的n次代數曲線是有理曲線。例如，代數曲線 是以 為參數由 表示的有理曲線。

表述二

虧格式0的代數曲線就是有理曲線。

相關定理

定理一

射影直線 是有理曲線。

證明： 的函式域 ，則 。 是 的全部標準離散賦值。設其對應的賦值環為 和 ，則 是 的極大理想的生成元， 是 的極大理想的生成元。因 對所有的 成立，因此 對所有的 成立。又因 ，得 ，故有 ，因此 的虧格為零。

定理二

設X 是光滑的射影曲線，則X同構於 ，若且唯若存在X上兩個不同點P,Q相互線性等價。

證明：設 ，則 是 上的非平凡的有理函式，和分別是的單零點和單極點，且在沒有其他零點和極點。因此， 線性等價於。

反之設X上兩個線性等價點,，則存在 ，使。於是是一個有限擴張，令，則是的一個離散賦值環，並且是 的極大理想的生成元，故點在之上的分歧指數。由於是在中的唯一的擴張，故有，即。

定理三

有理曲線同構於射影直線 。

證明：設 X 是有理曲線，P 是 X 上任意一點，則由R-emann-Roch定理得 ，因此存在 與 線性等價，根據定理二可得X 與射影直線 同構。

定理四（Luroth定理）

設是從有理曲線到光滑射影曲線上的一個態射，假定所誘導的函式域擴張是可分的，則是有理曲線。

證明：設n是的次數，則根據Hurwitz公式有 ，因，，故。