最小曲面問題

最小曲面問題是一個古典變分問題，最小曲面問題的物理背景是空間封閉線框架上的肥皂泡膜問題。在給定的空間封閉線框架上的肥皂泡膜，其具有表面積最小的特性。最小曲面的數學描述為，對於平面xy上由簡單分片光滑曲線C圍成的區域Ω，令z =g(x，y)為定義在曲線C上的已知函式（其圖形構成空間封閉線框架），在所有定義在區域Ω上具有連續二階偏導數的函式z=u(x，y)中，存在一個在曲線C上滿足u(x，y)=g(x，y)的函式u(x，y)，其在區域Ω上圖形的表面積最小。這個表面積最小的曲面，稱為最小曲面。

基本介紹

• 中文名：最小曲面問題
• 外文名：minimum curve surface problem
• 所屬學科：數學
• 屬性：一個古典變分問題
• 相關概念：變分問題，變分法，變分原理等

基本介紹

變分問題

變分法是研究泛函極值問題的一個數學分支，它在物理、力學和工程技術中有廣泛的套用。泛函極值問題與函式極值問題非常相似，但又有本質的不同。變分問題(variational problem)是有關求泛函的極大值和極小值的問題，最早研究的重要變分問題有：

1.最速降線問題：給定不在同一鉛垂線上的兩點A和B，求出連結A和B的一條曲線使其具有這樣的性質：當質點受重力作用沿著這條曲線由A下滑至B時所需時間為最少。

2.短程線問題：求曲面φ(x，y，z)=0上所給二點間長度最短的曲線，這條最短曲線稱為短程線或測地線。

3.基本的等周問題：求長為一定的封閉曲線l，使其所圍的面積S為極大 。

最小曲面問題也是一種經典的古典變分問題。

最小曲面問題介紹

設 平面上的開區域 ，其邊界記為 ，在 上給定函式 是已知函式，於是得到一空間曲線 ，其中曲面 正是所要求的曲面，此曲面要求滿足的條件是由曲線C在空間中所張成的曲面面積最小。

由微積分的知識可以推導出曲面 在開區域 上的面積表達式。

不妨假設函式 滿足隱函式存在定理的條件，即有 ，則曲面的面積為

很顯然，曲面面積是關於函式 的函式，因此面積S是函式 的泛函。其中函式 必須滿足如下條件：(1)存在連續的一階偏導數；(2) 在邊界 必須與 相等。用集合的概念描述為

於是，求最小曲面問題就可以轉化為如下泛函極值的問題

求 ，使得

解法介紹

最小曲面的數學描述為，對於平面xy上由簡單分片光滑曲線C圍成的區域Ω，令z =g(x，y)為定義在曲線C上的已知函式（其圖形構成空間封閉線框架），在所有定義在區域Ω上具有連續二階偏導數的函式z=u(x，y)中，存在一個在曲線C上滿足u(x，y)=g(x，y)的函式u(x，y)，其在區域Ω上圖形的表面積最小。這個表面積最小的曲面，稱為最小曲面。

函式 在區域 上圖形的表面積可表示為

因此最小曲面問題可表示為一個泛函極值問題

利用變分極值原理，可得式(1)的Euler方程為

式中：div為散度運算元； 為梯度運算元， 。

式(2)展開後為

因此求最小曲面問題，轉化為求非線性偏微分(式(3))在Dirichlet邊界條件 下的邊值問題。

對於給定的初始假設函式 ，式(3)的直接線性化方程可以寫為

由式(4)可以構造直接線性化疊代格式為

下面可以使用重心插值配點法解決問題。先求出式(3)的重心插值配點法離散公式，進一步求出所得重心插值配點法離散公式的Jacobi導數矩陣及其Newton-Raphson疊代格式。