基本介紹
內容簡介,作者簡介,圖書目錄,第一冊,第二冊,第三冊,
內容簡介
《數學分析講義》是作者在清華大學數學科學系（1987～2003）及北京大學數學科學學院（2003～2009）給本科生講授數學分析課的講稿的基礎上編成的。一方面，作者力求以近代數學（集合論，拓撲，測度論，微分流形和微分形式）的語言來介紹數學分析的基本知識，以使同學儘早熟悉近代局付戒數學文獻中的表述方式。另一方面在篇幅允許的範圍內，作者儘可能地介紹數學分析與其他學科（特別是物理學）的聯繫，以使同學理解自然現象一直是數學發展的重要源泉。全書分為三冊。第一冊包括：集合與映射，實數與複數，極限，連續函式類，一元微分學和一元函式的Riemann積分；第二冊包括：點集拓撲初步，多元微分學，測度和積分；第三冊包括：調和分析初步和相關課題，複分析初步，歐氏空間中的微分流形，重線性代數，微分形式和歐氏空間中的流形上的積分。每章都配有豐富的習題，它除了提供同學訓練和熟悉正文中的內容外，也介紹了許多補充知識。
《數學分析講義》可作為高等院校數學系攻讀數學、套用數學、計算數學的本科生數學分析課程的教材或教學參考書，也可作為需要把數學當做重要工具的同學（例如攻讀物理的同學）的教學參考書。
作者簡介
陳天權教授。上海市人。1959年畢業於北京大學數學力學系。在校期間與付棗道王選院士，張恭慶院士並列北大數學力學系“十大才子”。歷任內蒙古大學講師、副教授、教授。1979年赴美國柯朗研究所和霍普金斯大學力學系從事套用數學研究。專於湍流及相關氣體運動的研究。曾於清華大學任教，後在北京大學開設鞏嫌愚踏《數學分析》、《泛函分析》等課程，現又在清華大學講授《數學分析》。撰有《湍流運動中的Hilbert - Enskon - Chanman展開》等論文。
圖書目錄
第一冊
第1章 集合與映射
1.1 集合
1.2 集合運算及幾個邏輯符號
1.3 映射
1.4 映射的乘積(或複合)
1.5 可數集
1.6 習題
1.7 補充教材一：關於自然數集合N
1.8 補充教材二：基數的比較
1.9 補充習題
進一步閱讀的參考文獻
第2章 實數與複數
2.1 實數的四則運算
2.2 實數的大小次序
2.3 實數域的完備性
2.4 複數
2.5 習題
2.6 補充教材一：整數環z與有理數域Q的構築
2.7 補充教材二：實數域R的構築
進一步閱讀的參考文獻
第3章 極限
3.1 序列的極限
3.2 序列極限的存在條件
3.3 級數
3.4 正項級數收斂性的判別法
3.5 冪級數
3.6 函式的極限
3.7 習題
進一步閱讀的參考文獻
第4章 連續函式類和其他函式類
4.1 連續函式的定義及其局部性質
4.2 (有界)閉區間上連續函式的整體性質
4.3 單調連續函式及其反函式
4.4 函式列的一致收斂性
4.5 習題
4.6 補充教材：半連續函式姜葛市及階梯函式
進一步閱碑厚頁碑讀的參考文獻
第5章 一元微分學
5.1 導數和微分
5.2 導數與微分的運算規則
5.3 可微函式的整體性質及其套用
5.4 高階導數，高階微分及Taylor公式
5.5 Taylor級數
5.6 凸函式
5.7 幾個常用的不等式
5.8 習題
5.9 補充教材一：關於可微函式的整體性質
5.10 補充教材二：一維線性振動戰盛的數學表述
5.10.1 諧振子
5.10.2 阻尼振動
5.10.3 強迫振動
進一步閱讀的參考文獻
第6章 一元函式的Riemann積分
6.1 Riemann積分的定義
6.2 Riemann積分的簡單性質
6.3 微積分學基本定理
6.4 積分的計算
6.5 有理函式的積分
6.6 可以化為有理函式積分的積分
6.6.1 R(x,根號(αx+β)/(γx+δ))的積分
6.6.2 R(x,根號ax2+bx+c)的積分
6.6.3 R(sinx,cosx)的積分
6.7 反常積分
6.8 積分在幾何學，力學與物理學中的套用
6.8.1 定向區間的可加函式
6.8.2 曲線的弧長
6.8.3 功
6.9 習題
6.10 補充教材一：關於Newton—Leibniz公式成立的條虹鑽奔件
6.11 補充教材二：Stieltje8積分
6.12 補充教材三：單擺的平面運動和橢圓函式
6.12.1 一維的非線性振動的例：單擺的平面運動
6.12.2 描述單擺平面運動的橢圓函式
6.13 補充教材四：上、下積分的定義
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
名詞索引
第二冊
第7章 點集拓撲初步
7.1 拓撲空間
7.2 連續映射
7.3 度量空間
7.4 拓撲子空間，拓撲空間的積和拓撲空間的商
7.5 完備度量空間
7.6 緊空間
7.7 Stone-Weierstrass逼近定理
7.8 連通空間
7.9 習題
7.10 補充教材：Urysohn引理
進一步閱讀的參考文獻
第8章 多元微分學
8.1 微分和導數
8.2 中值定理
8.3 方嚮導數和偏導數
8.4 高階偏導數與Taylor公式
8.5 反函式定理與隱函式定理
8.6 單位分解
8.7 一次微分形式與線積分
8.7.1 一次微分形式與它的回拉
8.7.2 一次微分形式的線積分
8.8 習題
8.9 補充教材一：線性賦范空間上的微分學及變分法初步
8.9.1 線性賦范空間上的重線性映射
8.9.2 連續重線性映射空間
8.9.3 映射的微分
8.9.4 有限增量定理
8.9.5 映射的偏導數
8.9.6 高階導數
8.9.7 Taylor公式
8.9.8 變分法初步
8.9.9 無限維空間的隱函式定理
8.10 補充教材二：經典力學中的Hamilton原理
8.10.1 Lagrange方程組和最小作用量原理
8.10.2 Hamilton方程組和Hamiltom原理進一步閱讀的參考文獻
第9章 測度
9.1 可加集函式
9.2 集函式的可數可加性
9.3 外測度
9.4 構造測度
9.5 度量外測度
9.6 Lebesgue不可測集的存在性
9.7 習題 進一步閱讀的參考文獻
第10章 積分
10.1 可測函式
10.2 積分的定義及其初等性質
10.3 積分號與極限號的交換
10.4 Lebesgue積分與Riemann積分的比較
10.5 Futfini-ronelli定理
10.6 Jacobi矩陣與換元公式
10.7 Lebesgue函式空間
10.7.1 LP空間的定義
10.7.2 LP空間的完備性
10.7.3 Hanner不等式
10.7.4 LP的對偶空間
10.7.5 Radon-Nikodym定理
10.7.6 Hilbert空間
10.7.7 關於微積分學基本定理
10.8 二次微分形式的面積分
10.8.1 一次微分形式的外微分
10.8.2 二次微分形式和平面的定向
10.8.3 二次微分形式的回拉和積分
10.8.4 三維空間的二次微分形式
10.8.5 平面上的Green公式
10.9 習題
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
名詞索引
第三冊
第11章 調和分析初步和相關課題
11.1 Fourier級數
11.2 Fourier變換的L1-理論
11.3 Hermite函式
11.4 Fourier變換的L2-理論
11.5 習題
11.6 補充教材一：局部緊度量空間上的積分理論
11.6.1 C0(M)上的正線性泛函
11.6.2 可積列空間L1
11.6.3 局部緊度量空間上的外測度
11.6.4 列空間L1中的元素的實現
11.6.5 l-可積集
11.6.6 積分與正線性泛函的關係
11.6.7 Radon泛函與Jordan分解定理
11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理
11.6.9 機率分布的特徵函式
11.7 補充教材二：廣義函式的初步介紹
11.7.1 廣義函式的定義和例
11.7.2 廣義函式的運算
11.7.3 廣義函式的局部性質
11.7.4 廣義函式的Fourier變換
11.7.5 廣義函式在偏微分方程理論上的套用
11.8 補充習題
進一步閱讀的參考文獻
第12章 複分析初步
12.1 兩個微分運算元和兩個復值的一次微分形式
12.2 全純函式
12.3 留數與Cauchy積分公式
12.4 Taylor公式和奇點的性質
12.5 多值映射和用迴路積分計算定積分
12.6 複平面上的Taylor級數和Laurent級數
12.7 全純函式與二元調和函式
12.8 複平面上的Г函式
12.9 習題
進一步閱讀的參考文獻
第13章 歐氏空間中的微分流形
13.1 歐氏空間中微分流形的定義
13.2 構築流形的兩個方法
13.3 切空間
13.4 定向
13.5 約束條件下的極值問題
13.6 習題
進一步閱讀的參考文獻
第14章 重線性代數
14.1 向量與張量
14.2 交替張量
14.3 外積
14.4 坐標變換
14.5 習題
進一步閱讀的參考文獻
第15章 微分形式
15.1 Rn上的張量場與微分形式
15.2 外微分運算元
15.3 外微分運算元與經典場論中的三個微分運算元
15.4 回拉
15.5 Poincare引理
15.6 流形上的張量場
15.7 Rn的開集上微分形式的積分
15.8 習題
進一步閱讀的參考文獻
第16章 歐氏空間中的流形上的積分
16.1 流形的可定向與微分形式
16.2 流形上微分形式的積分
16.3 流形上函式的積分
16.4 Gauss散度定理及它的套用
16.5 調和函式
16.6 習題
16.7 補充教材一：Maxwell電磁理論初步介紹
16.8 補充教材二：Hodge星運算元
16.9 補充教材三：Maxwell電磁理論的微分形式表示
進一步閱讀的參考文獻
結束語
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
關於以上所列參考文獻的說明
名詞索引
4.4 函式列的一致收斂性
4.5 習題
4.6 補充教材：半連續函式及階梯函式
進一步閱讀的參考文獻
第5章 一元微分學
5.1 導數和微分
5.2 導數與微分的運算規則
5.3 可微函式的整體性質及其套用
5.4 高階導數，高階微分及Taylor公式
5.5 Taylor級數
5.6 凸函式
5.7 幾個常用的不等式
5.8 習題
5.9 補充教材一：關於可微函式的整體性質
5.10 補充教材二：一維線性振動的數學表述
5.10.1 諧振子
5.10.2 阻尼振動
5.10.3 強迫振動
進一步閱讀的參考文獻
第6章 一元函式的Riemann積分
6.1 Riemann積分的定義
6.2 Riemann積分的簡單性質
6.3 微積分學基本定理
6.4 積分的計算
6.5 有理函式的積分
6.6 可以化為有理函式積分的積分
6.6.1 R(x,根號(αx+β)/(γx+δ))的積分
6.6.2 R(x,根號ax2+bx+c)的積分
6.6.3 R(sinx,cosx)的積分
6.7 反常積分
6.8 積分在幾何學，力學與物理學中的套用
6.8.1 定向區間的可加函式
6.8.2 曲線的弧長
6.8.3 功
6.9 習題
6.10 補充教材一：關於Newton—Leibniz公式成立的條件
6.11 補充教材二：Stieltje8積分
6.12 補充教材三：單擺的平面運動和橢圓函式
6.12.1 一維的非線性振動的例：單擺的平面運動
6.12.2 描述單擺平面運動的橢圓函式
6.13 補充教材四：上、下積分的定義
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
名詞索引
第二冊
第7章 點集拓撲初步
7.1 拓撲空間
7.2 連續映射
7.3 度量空間
7.4 拓撲子空間，拓撲空間的積和拓撲空間的商
7.5 完備度量空間
7.6 緊空間
7.7 Stone-Weierstrass逼近定理
7.8 連通空間
7.9 習題
7.10 補充教材：Urysohn引理
進一步閱讀的參考文獻
第8章 多元微分學
8.1 微分和導數
8.2 中值定理
8.3 方嚮導數和偏導數
8.4 高階偏導數與Taylor公式
8.5 反函式定理與隱函式定理
8.6 單位分解
8.7 一次微分形式與線積分
8.7.1 一次微分形式與它的回拉
8.7.2 一次微分形式的線積分
8.8 習題
8.9 補充教材一：線性賦范空間上的微分學及變分法初步
8.9.1 線性賦范空間上的重線性映射
8.9.2 連續重線性映射空間
8.9.3 映射的微分
8.9.4 有限增量定理
8.9.5 映射的偏導數
8.9.6 高階導數
8.9.7 Taylor公式
8.9.8 變分法初步
8.9.9 無限維空間的隱函式定理
8.10 補充教材二：經典力學中的Hamilton原理
8.10.1 Lagrange方程組和最小作用量原理
8.10.2 Hamilton方程組和Hamiltom原理進一步閱讀的參考文獻
第9章 測度
9.1 可加集函式
9.2 集函式的可數可加性
9.3 外測度
9.4 構造測度
9.5 度量外測度
9.6 Lebesgue不可測集的存在性
9.7 習題 進一步閱讀的參考文獻
第10章 積分
10.1 可測函式
10.2 積分的定義及其初等性質
10.3 積分號與極限號的交換
10.4 Lebesgue積分與Riemann積分的比較
10.5 Futfini-ronelli定理
10.6 Jacobi矩陣與換元公式
10.7 Lebesgue函式空間
10.7.1 LP空間的定義
10.7.2 LP空間的完備性
10.7.3 Hanner不等式
10.7.4 LP的對偶空間
10.7.5 Radon-Nikodym定理
10.7.6 Hilbert空間
10.7.7 關於微積分學基本定理
10.8 二次微分形式的面積分
10.8.1 一次微分形式的外微分
10.8.2 二次微分形式和平面的定向
10.8.3 二次微分形式的回拉和積分
10.8.4 三維空間的二次微分形式
10.8.5 平面上的Green公式
10.9 習題
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
名詞索引
第三冊
第11章 調和分析初步和相關課題
11.1 Fourier級數
11.2 Fourier變換的L1-理論
11.3 Hermite函式
11.4 Fourier變換的L2-理論
11.5 習題
11.6 補充教材一：局部緊度量空間上的積分理論
11.6.1 C0(M)上的正線性泛函
11.6.2 可積列空間L1
11.6.3 局部緊度量空間上的外測度
11.6.4 列空間L1中的元素的實現
11.6.5 l-可積集
11.6.6 積分與正線性泛函的關係
11.6.7 Radon泛函與Jordan分解定理
11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理
11.6.9 機率分布的特徵函式
11.7 補充教材二：廣義函式的初步介紹
11.7.1 廣義函式的定義和例
11.7.2 廣義函式的運算
11.7.3 廣義函式的局部性質
11.7.4 廣義函式的Fourier變換
11.7.5 廣義函式在偏微分方程理論上的套用
11.8 補充習題
進一步閱讀的參考文獻
第12章 複分析初步
12.1 兩個微分運算元和兩個復值的一次微分形式
12.2 全純函式
12.3 留數與Cauchy積分公式
12.4 Taylor公式和奇點的性質
12.5 多值映射和用迴路積分計算定積分
12.6 複平面上的Taylor級數和Laurent級數
12.7 全純函式與二元調和函式
12.8 複平面上的Г函式
12.9 習題
進一步閱讀的參考文獻
第13章 歐氏空間中的微分流形
13.1 歐氏空間中微分流形的定義
13.2 構築流形的兩個方法
13.3 切空間
13.4 定向
13.5 約束條件下的極值問題
13.6 習題
進一步閱讀的參考文獻
第14章 重線性代數
14.1 向量與張量
14.2 交替張量
14.3 外積
14.4 坐標變換
14.5 習題
進一步閱讀的參考文獻
第15章 微分形式
15.1 Rn上的張量場與微分形式
15.2 外微分運算元
15.3 外微分運算元與經典場論中的三個微分運算元
15.4 回拉
15.5 Poincare引理
15.6 流形上的張量場
15.7 Rn的開集上微分形式的積分
15.8 習題
進一步閱讀的參考文獻
第16章 歐氏空間中的流形上的積分
16.1 流形的可定向與微分形式
16.2 流形上微分形式的積分
16.3 流形上函式的積分
16.4 Gauss散度定理及它的套用
16.5 調和函式
16.6 習題
16.7 補充教材一：Maxwell電磁理論初步介紹
16.8 補充教材二：Hodge星運算元
16.9 補充教材三：Maxwell電磁理論的微分形式表示
進一步閱讀的參考文獻
結束語
進一步閱讀的參考文獻
參考文獻
關於以上所列參考文獻的說明
名詞索引
