數值分析與算法（第2版）

內容簡介

本書是針對“數值分析”、“計算方法”、“數值分析與算法”等課程編寫的教材，主要面向理工科大學信息科學與技術各專業，以及信息與計算科學專業的協良院催本科生。本書內容包括數值計算基礎、非線性方程的數值解法、線性方程組的直接解法與疊代解法、矩陣特徵值與特徵向量的計騙棄旬算、數值逼近與插值、數值積分方法、常微分方程初值問題的解法，以及數值算法與套用的知識。本書涵蓋數值分析、矩陣計算領域最基本、最常用的一些知識與方法，而且在算法及套用方面增加了一些較新的內容。在敘述上既注重理論的嚴謹性，又強調方法笑臘希的套用背景、算法設計，以及不同方法的對比。為了增加實用性與可擴展性，每章配備了套用實例、算法背後的歷史、評述等子欄目，書末附有算法、術語索引。在附錄中還包括MATLAB軟體的簡介，便於讀者快速掌握並進行編程實驗。

本書適合作為高年級本科生或研究生的教材射簽跨，也可供從事科學與工程計算的科研人員參考市糊。

圖書目錄

第1章數值計算導論1

1.1概述1

1.1.1數值計算與數值算法1

1.1.2數值計算的問題與策略2

1.1.3數值計算軟體4

1.2誤差分析基礎6

1.2.1數值計算的近似6

1.2.2誤差及其分類7

1.2.3問題的敏感性與數據傳遞誤差估算11

1.2.4算法的穩定性13

1.3計算機浮點數系統與捨入誤差15

1.3.1計算機浮點數系統15

1.3.2捨入與機器精度18

1.3.3浮點運算的捨入誤差19

1.3.4抵消現象21

1.4保證數值計算的準確性22

1.4.1減少捨入誤差的幾條建議22

1.4.2影響結果準確性的主要因素24

評註25

算法背後的歷史：浮點運算的先驅——威廉·卡亨26

練習題28

上機題29

第2章非線性方程求根30

2.1引言30

2.1.1非線性方程的解30

2.1.2問題的敏感性31

2.2二分法31

2.2.1方法原理31

2.2.2算法穩定性和結果準確度33

2.3不動點疊代法35

2.3.1基本原理35

2.3.2全局收斂的充分條件36

2.3.3局部收斂性38

2.3.4穩定性與收斂階38

2.4牛頓疊代法40

2.4.1方法原理40

2.4.2重根的情況42

2.4.3判停準則43

2.4.4牛頓法的問題43

2.5割線法與拋物線法44

2.5.1割線法44

2.5.2拋物線法46

2.6實用的方程求根技術46

2.6.1阻尼牛頓法46

2.6.2多項式方程求根47

2.6.3通用求根算法zeroin48

套用實例：城市水管應埋於地下多深？50

2.7非線性方程組和有關數值軟體52

2.7.1非線性方程組52

2.7.2非線性方程求根的相關軟體54

評述55

算法背後的歷史：牛頓與牛頓法56

練習題57

上機題58

第3章線性方程組的直接解法59

3.1基本概念與問題的敏感性59

3.1.1線性代數中的有關概念59

3.1.2向量範數與矩陣範數62

3.1.3問題的敏感性與矩陣條件數65

3.2高斯消去法69

3.2.1基本的高斯消去法69

3.2.2高斯約當消去法72

3.3矩陣的LU分解75

3.3.1高斯消去過程的矩陣形式75

3.3.2矩陣的直接LU分解算法79

3.3.3LU分解的用途82

3.4選主元技術與算法穩定性83

3.4.1為什麼要選主元83

3.4.2使用部分主元技術的LU分解85

3.4.3其他選主元技術89

3.4.4算法的穩定性90

3.5對稱正定矩陣與帶狀矩陣剃循紋的解法91

3.5.1對稱正定矩陣的Cholesky分解91

3.5.2帶狀線性方程組的解法95

套用實例: 穩態電路的求解97

3.6有關稀疏線性方程組的實用技術99

3.6.1稀疏矩陣基本概念99

3.6.2MATLAB中的相關功能102

3.7有關數值軟體104

評述106

算法背後的歷史: 威爾金森與數值分析107

練習題108

上機題110

第4章線性方程組的疊代解法112

4.1疊代解法的基本理論112

4.1.1基本概念112

4.1.21階定常辨斷請艱疊代法的收斂性113

4.1.3收斂階與收斂速度116

4.2經典疊代法118

4.2.1雅可比疊代法118

4.2.2高斯賽德爾疊代法119

4.2.3逐次超鬆弛疊代法121

4.2.4三種疊代法的收斂條件123

套用實例：桁架結構的應力分析126

4.3共軛梯度法簡介128

4.3.1最速下降法128

4.3.2共軛梯度法131

4.4各種方法的比較135

4.4.1疊代法之間的比較135

4.4.2直接法與疊代法的對比138

4.5有關數值軟體139

評述140

算法背後的歷史：雅可比142

練習題143

上機題144

第5章矩陣特徵值計算146

5.1基本概念與特徵值分布146

5.1.1基本概念與性質146

5.1.2特徵值分布範圍的估計150

5.2冪法與反冪法152

5.2.1冪法152

5.2.2加速收斂的方法156

5.2.3反冪法158

套用實例： Google的PageRank算法160

5.3矩陣的正交三角化162

5.3.1Householder變換163

5.3.2Givens旋轉變換165

5.3.3矩陣的QR分解166

5.4所有特徵值的計算與QR算法170

5.4.1收縮技術170

5.4.2基本QR算法171

5.4.3實用QR算法的有關技術173

5.5有關數值軟體177

評述178

算法背後的歷史： A.Householder與矩陣分解179

練習題180

上機題183

第6章函式逼近與函式插值185

6.1函式逼近的基本概念185

6.1.1函式空間185

6.1.2函式逼近的不同類型188

6.2連續函式的最佳平方逼近190

6.2.1一般的法方程方法190

6.2.2用正交函式族進行逼近194

6.3曲線擬合的最小二乘法197

6.3.1問題的矩陣形式與法方程法198

6.3.2用正交化方法求解最小二乘問題202

套用實例: 核子彈爆炸的能量估計206

6.4函式插值與拉格朗日插值法207

6.4.1插值的基本概念207

6.4.2拉格朗日插值法208

6.4.3多項式插值的誤差估計211

6.5牛頓插值法213

6.5.1基本思想213

6.5.2差商與牛頓插值公式214

6.6分段多項式插值219

6.6.1高次多項式插值的病態性質219

6.6.2分段線性插值220

6.6.3分段埃爾米特插值221

6.6.4保形分段插值224

6.7樣條插值函式226

6.7.1三次樣條插值226

6.7.2三次樣條插值函式的構造227

6.7.3B樣條函式229

評述232

算法背後的歷史: 拉格朗日與插值法233

練習題234

上機題236

第7章數值積分與數值微分238

7.1數值積分概論238

7.1.1基本思想238

7.1.2求積公式的積分餘項與代數精度240

7.1.3求積公式的收斂性與穩定性241

7.2牛頓柯特斯公式242

7.2.1柯特斯係數與幾個低階公式242

7.2.2牛頓柯特斯公式的代數精度244

7.2.3幾個低階公式的餘項245

7.3複合求積公式246

7.3.1複合梯形公式246

7.3.2複合辛普森公式247

7.3.3步長折半的複合求積公式計算249

7.4Romberg積分算法250

7.4.1複合梯形公式的餘項展開式250

7.4.2理查森外推法251

7.4.3Romberg算法252

7.5自適應積分算法254

7.5.1自適應積分的原理255

7.5.2一個具體的自適應積分算法255

7.6高斯求積公式258

7.6.1一般理論258

7.6.2高斯勒讓德積分公式及其他261

套用實例：探月衛星軌道長度計算263

7.7數值微分264

7.7.1基本的有限差分公式265

7.7.2插值型求導公式266

7.7.3數值微分的外推算法268

評述269

算法背後的歷史： “數學王子”高斯271

練習題272

上機題273

第8章常微分方程初值問題的解法275

8.1引言275

8.1.1問題分類與可解性275

8.1.2問題的敏感性276

8.2簡單的數值解法與有關概念278

8.2.1歐拉法278

8.2.2數值解法的穩定性與準確度280

8.2.3向後歐拉法與梯形法282

8.3龍格庫塔方法284

8.3.1基本思想284

8.3.2幾種顯式RK公式285

8.3.3顯式RK公式的穩定性與收斂性289

8.3.4自動變步長的RK方法290

8.4多步法292

8.4.1多步法公式的推導292

8.4.2Adams公式295

8.4.3更多討論298

8.5常微分方程組與實用技術299

8.5.11階常微分方程組299

8.5.2MATLAB中的實用ODE求解器302

套用實例: 洛倫茲吸引子306

評述308

算法背後的歷史: “數學家之英雄”歐拉309

練習題310

上機題312

附錄A有關數學記號的說明314

附錄BMATLAB簡介316

附錄C部分習題答案336

算法索引339

術語索引341

參考文獻349第1章數值計算導論1

1.1概述1

1.1.1數值計算與數值算法1

1.1.2數值計算的問題與策略2

1.1.3數值計算軟體4

1.2誤差分析基礎6

1.2.1數值計算的近似6

1.2.2誤差及其分類7

1.2.3問題的敏感性與數據傳遞誤差估算11

1.2.4算法的穩定性14

1.3計算機浮點數系統與捨入誤差15

1.3.1計算機浮點數系統16

1.3.2捨入與機器精度18

1.3.3浮點運算的捨入誤差20

1.3.4抵消現象21

1.4保證數值計算的準確性22

1.4.1減少捨入誤差的幾條建議22

1.4.2影響結果準確性的主要因素25

評註26

算法背後的歷史：浮點運算的先驅——威廉·卡亨27

練習題28

上機題29

第2章非線性方程求根31

2.1引言31

2.1.1非線性方程的解31

2.1.2問題的敏感性32

2.2二分法32

2.2.1方法原理32

2.2.2算法穩定性和結果準確度34

2.3不動點疊代法36

2.3.1基本原理36

2.3.2全局收斂的充分條件37

2.3.3局部收斂性38

2.3.4穩定性與收斂階39

2.4牛頓疊代法41

2.4.1方法原理41

2.4.2重根的情況43

數值分析與算法(第2版)2.4.3判停準則44

2.4.4牛頓法的問題44

2.5割線法與拋物線法45

2.5.1割線法45

2.5.2拋物線法46

2.6實用的方程求根技術47

2.6.1阻尼牛頓法47

2.6.2多項式方程求根48

2.6.3通用求根算法zeroin48

套用實例：城市水管應埋於地下多深？51

2.7非線性方程組和有關數值軟體52

2.7.1非線性方程組52

2.7.2非線性方程求根的相關軟體54

評述55

算法背後的歷史：牛頓與牛頓法56

練習題57

上機題58

第3章線性方程組的直接解法60

3.1基本概念與問題的敏感性60

3.1.1線性代數中的有關概念60

3.1.2向量範數與矩陣範數63

3.1.3問題的敏感性與矩陣條件數66

3.2高斯消去法70

3.2.1基本的高斯消去法70

3.2.2高斯若當消去法72

3.3矩陣的LU分解76

3.3.1高斯消去過程的矩陣形式76

3.3.2矩陣的直接LU分解算法80

3.3.3LU分解的用途83

3.4選主元技術與算法穩定性84

3.4.1為什麼要選主元84

3.4.2使用部分主元技術的LU分解86

3.4.3其他選主元技術90

3.4.4算法的穩定性91

3.5對稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法92

3.5.1對稱正定矩陣的Cholesky分解92

3.5.2帶狀線性方程組的解法96

套用實例: 穩態電路的求解98

3.6有關稀疏線性方程組的實用技術99

3.6.1稀疏矩陣基本概念100

3.6.2MATLAB中的相關功能102

3.7有關數值軟體105

評述107

算法背後的歷史: 威爾金森與數值分析108

練習題109

上機題111

第4章線性方程組的疊代解法113

4.1疊代解法的基本理論113

4.1.1基本概念113

4.1.21階定常疊代法的收斂性114

4.1.3收斂階與收斂速度117

4.2經典疊代法119

4.2.1雅可比疊代法119

4.2.2高斯賽德爾疊代法120

4.2.3逐次超鬆弛疊代法122

4.2.4三種疊代法的收斂條件124

套用實例：桁架結構的應力分析127

4.3共軛梯度法129

4.3.1最速下降法129

4.3.2共軛梯度法132

4.4各種方法的比較135

4.4.1疊代法之間的比較136

4.4.2直接法與疊代法的對比139

4.5有關數值軟體140

評述141

算法背後的歷史：雅可比142

練習題143

上機題145

第5章矩陣特徵值計算147

5.1基本概念與特徵值分布147

5.1.1基本概念與性質147

5.1.2特徵值分布範圍的估計151

5.2冪法與反冪法153

5.2.1冪法153

5.2.2加速收斂的方法157

5.2.3反冪法159

套用實例： Google的PageRank算法161

5.3矩陣的正交三角化163

5.3.1Householder變換164

5.3.2Givens旋轉變換166

5.3.3矩陣的QR分解167

5.4所有特徵值的計算與QR算法171

5.4.1收縮技術171

5.4.2基本QR算法172

5.4.3實用QR算法的有關技術174

5.5有關數值軟體178

評述179

算法背後的歷史： A.Householder與矩陣分解180

練習題181

上機題184

第6章函式逼近與函式插值186

6.1函式逼近的基本概念186

6.1.1函式空間186

6.1.2函式逼近的不同類型189

6.2連續函式的最佳平方逼近191

6.2.1一般的法方程方法191

6.2.2用正交函式族進行逼近195

6.3曲線擬合的最小二乘法198

6.3.1問題的矩陣形式與法方程法199

6.3.2用正交化方法求解最小二乘問題203

套用實例: 核子彈爆炸的能量估計206

6.4函式插值與拉格朗日插值法208

6.4.1插值的基本概念208

6.4.2拉格朗日插值法209

6.4.3多項式插值的誤差估計212

6.5牛頓插值法214

6.5.1基本思想214

6.5.2差商與牛頓插值公式215

6.6分段多項式插值220

6.6.1高次多項式插值的病態性質220

6.6.2分段線性插值221

6.6.3分段埃爾米特插值222

6.6.4保形分段插值225

6.7樣條插值函式226

6.7.1三次樣條插值227

6.7.2三次樣條插值函式的構造228

6.7.3B樣條函式231

評述232

算法背後的歷史: 拉格朗日與插值法234

練習題235

上機題237

第7章數值積分與數值微分239

7.1數值積分概論239

7.1.1基本思想239

7.1.2求積公式的積分餘項與代數精度241

7.1.3求積公式的收斂性與穩定性242

7.2牛頓柯特斯公式243

7.2.1柯特斯係數與幾個低階公式243

7.2.2牛頓柯特斯公式的代數精度245

7.2.3幾個低階公式的餘項246

7.3複合求積公式247

7.3.1複合梯形公式247

7.3.2複合辛普森公式248

7.3.3步長折半的複合求積公式計算250

7.4Remberg積分算法251

7.4.1複合梯形公式的餘項展開式251

7.4.2理查森外推法252

7.4.3Romberg算法253

7.5自適應積分算法255

7.5.1自適應積分的原理256

7.5.2一個具體的自適應積分算法256

7.6高斯求積公式259

7.6.1一般理論259

7.6.2高斯勒讓德積分公式及其他262

套用實例：探月衛星軌道長度計算264

7.7數值微分265

7.7.1基本的有限差分公式266

7.7.2插值型求導公式267

7.7.3數值微分的外推算法269

評述270

算法背後的歷史： “數學王子”高斯272

練習題273

上機題274

第8章常微分方程初值問題的解法276

8.1引言276

8.1.1問題分類與可解性276

8.1.2問題的敏感性277

8.2簡單的數值解法與有關概念279

8.2.1歐拉法279

8.2.2數值解法的穩定性與準確度281

8.2.3向後歐拉法與梯形法283

8.3龍格庫塔方法285

8.3.1基本思想285

8.3.2幾種顯式RK公式286

8.3.3顯式RK公式的穩定性與收斂性290

8.3.4自動變步長的RK方法291

8.4多步法293

8.4.1多步法公式的推導293

8.4.2Adams公式296

8.4.3更多討論299

8.5常微分方程組與實用技術300

8.5.11階常微分方程組300

8.5.2MATLAB中的實用ODE求解器303

套用實例: 洛倫茲吸引子306

評述308

算法背後的歷史: “數學家之英雄”歐拉309

練習題311

上機題313

附錄A有關數學記號的說明314

附錄BMATLAB簡介316

附錄C部分習題答案336

索引339

術語索引341

參考文獻346"

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