辛普森公式

辛普森（Simpson）公式是牛頓-科特斯公式當n=2時的情形，也稱為三點公式。利用區間二等分的三個點來進行積分插值。其科特斯係數分別為1/6，4/6，1/6。

基本介紹

• 中文名：辛普森公式
• 別稱：三點公式
• 套用學科：立體幾何
• 科特斯係數：1/6，4/6，1/6

套用

立體幾何中用來求擬柱體體積的公式。

公式內容

設擬柱體的高（兩底面α，β間的距離）為H，如果用平行於底面的平面γ去截該圖形，所得到的截面面積是平面γ與平面α之間距離h的不超過3次的函式，那么該擬柱體的體積V為

V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6.

式中，S_1和S_2是兩底面的面積，S_0是中截面的面積（即平面γ與平面α之間距離h=H/2時得到的截面的面積）。

事實上，不光是擬柱體，其他符合條件（所有頂點都在兩個平行平面上、用平行於底面的平面去截該圖形時所得到的截面面積是該平面與一底之間距離的不超過3次的函式）的立體圖形也可以利用該公式求體積。

計算實例

例1：計算底面積為S、高為h的柱體的體積。

解：此題中S_1 = S_0 = S_2 = S，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S + S) /6 = S h。

例2：計算底面積為S、高為h的錐體的體積。

解：此題中S_1 = S，S_0 = S /4，S_2 = 0，H = h，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S /4 + 0) /6 = S h /3。

例3：計算半徑為r的球的體積。

解：此題中S_1 = S_2 = 0，S_0 = πr^2，H = 2r，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = 2r (0 + 4πr^2 + 0) /6 = 4πr^3 /3。

公式證明

只需要證明根據公式算出來的體積和用積分算出來的體積相等即可。

設截面面積是截面高h的不超過3次的函式：f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。

那么，

利用積分計算體積，可以得到（積分限為0~h）：

V = ∫ f(x) dx

= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh；

利用公式計算體積，可以得到：

V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6

= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6

= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6

= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。

因此兩式相等，公式得證。

Remark：當函式f(h)次數高於或等於4次時，公式一般不成立。這只需驗證f(h)=h^4時公式不成立即可。