龍貝格求積公式

龍貝格求積公式也稱為逐次分半加速法。是數值計算方法之一，用以求解數值積分。是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之間關係的基礎上，構造出一種加速計算積分的方法。 作為一種外推算法，在不增加計算量的前提下提高了誤差的精度。

基本介紹

• 中文名：龍貝格求積公式
• 外文名：Romberg quadrature formula
• 類別：數值計算方法之一
• 作用：用以求解數值積分
• 別名：逐次分半加速法
• 套用學科：數學術語

概述

龍貝格求積公式也稱為逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之間的關係的基礎上，構造出一種加速計算積分的方法。 作為一種外推算法，它在不增加計算量的前提下提高了誤差的精度。

在等距基點的情況下，用計算機計算積分值通常都採用把區間逐次分半的方法進行。這樣，前一次分割得到的函式值在分半以後仍可被利用,且易於編程。

推導過程

由 可以看到，用 和 的線性組合可以得到一個比 和 都好的近似公式，因此用 作為 的近似計算方式，通過驗算，可以得到

即復化Simpson公式。復化Simpson公式要優於復化梯形公式。

再由復化Simpson公式的截斷誤差公式

若 變化不大時，即 。則

所以得到

上式表明，用 和 的線性組合可以得到一個比 和 都好的近似公式。通過驗算，上式右端項是 。即

當然復化Cotes公式要優於復化Simpson公式。

類似於前面的推導，可以得到關於 的線性組合公式

令上式的右端項為 。即

稱 為龍貝格（Romberg）值。可以猜想，龍貝格（Romberg）值 要優於Cotes值 。因此用龍貝格（Romberg）值計算積分，將有較快的收斂速度。