數值分析與算法（第3版）

內容簡介

本書是針對“數值分析”“計算方法”“數值分析與算法”等課程編寫的教材,主要面向理工科大學信息科格盼汽學與技術各專業,以及信息與計算科學專業的本科生。本書內容包括數值計算煮鑽重基礎、非線性方程的數值解法、線性方程組的直接解法與疊代解法、矩陣特徵值與特徵向量的計算、數值逼近與插值、數值積分方法、常微分方程初值問題的解法,以及奔定墓數值算法與套用的知識。本書涵蓋數值分析、矩陣計算領域最基本、最常用的一些知識與方法,而且在算法及套用方面增加了一些較新的內容。在敘述上既注重理論的嚴謹性,又強調方法的套用背景、算法設計,以及不同方法的對比。

圖書目錄

第1章數值計算

導論 1

1. 1 概述 1

1. 1. 1 數值計算與數值算法 1

1. 1. 2 數值計算的問題與策略 2

1. 1. 3 數值計算軟體 4

1. 2 誤差分析蒸詢紙希基礎 6

1. 2. 1 數值計算的近似 6

1. 2. 2 誤差及其分類 7

1. 2. 3 問題的敏感性與數據傳遞誤差估算 11

1. 2. 4 算法的穩定性 14

1. 3 計算機浮點數系統與捨入誤差 16

1. 3. 1 計算機浮點數系統 16

1. 3. 2 捨入與機器精度 18

1. 3. 3 浮點運算的捨入誤差 20

1. 3. 4 抵消現象 21

1. 4 保證數值計算的準確性 22

1. 4. 1 減少捨入誤差的幾條建議 22

1. 4. 2 影響結果準確性的主要因素 25

評述 26

算法背後的歷史:浮點運算的先驅———威廉·卡亨 27

練習題 28

上機題 29

第2章非線性方程求根 31

2. 1 引言 31

2. 1. 1 非線性方程的解 31

2. 1. 2 問題的敏感性 32

2. 2 二分法 32 2. 2. 1 方法原理悼才全紙 32

2. 2. 2 算法穩定性和結果準確度 34

2. 3 不動點疊代法 36

2. 3. 1 基本原理 36

2. 3. 2 全局收斂的充分條件 37

2. 3. 3 局部收斂性 39

2. 3. 4 穩定性與收斂階 40

2. 4 牛頓疊代法 41

2. 4. 1 方法原理 42

2. 4. 2 重根的情況 44

2. 4. 3 判停準則 44

2. 4. 4 牛頓法的問題 45

2. 5 割線法與拋物線法 45

2. 5. 1 割線法 46

2. 5. 2 拋物線法 47

2. 6 實用的方程求根技術 48

2. 6. 1 阻尼牛頓法 48

2. 6. 2 多項式方程求根 48

2. 6. 3 通用求根算法z e r o i n 49

套用實例:城市水管應埋於地下多深 52

2. 7 非線性方程組和有關數值軟體 53

2. 7. 1 非線性方程組 53

2. 7. 2 非線性方程求根的相關軟體 55

評述 56

算法背後的歷史:牛頓與牛頓法 57

練習題 58

上機題 59

第3章線性方程組的直接解法 61

3. 1 基本概念與問題的敏感性 61

3. 1. 1 線性代數中的有關概念 61

3. 1. 2 向量範數與矩陣範數 64

3. 1. 3 問題的敏感性與矩陣條件數 68

3. 2 高斯消去法 71

3. 2. 1 基本的高斯消去法 71

3. 2. 2 高斯-約當消去法 74

3. 3 矩陣的LU分解 78

3. 3. 1 高斯消去過程的矩陣形式 78

3. 3. 2 矩陣的直接LU分解算法 81

3. 3. 3 LU分解的用途 84

3. 4 選主元技術與算法穩定性 86

3. 4. 1 為什麼要選主元 86

3. 4. 2 使用部分主元技術的LU分解 88

3. 4. 3 其他選主元技術 92

3. 4. 4 算法的穩定性 93

3. 5 對稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法 94

3. 5. 1 對稱正定矩陣的Cho l e sky分解 94

3. 5. 2 帶狀線性方程組的解法 97

套用實例:穩態電路的求解 100

3. 6 有關稀疏線請棄性方程組的實用技術 101

3. 6. 1 稀疏矩陣的基本概念 102

3. 6. 2 MATLAB中的相關功能 104

3. 7 有關數值軟體 107

評述 109

算法背後的歷史:威爾金森與數值分析 110

練習題 111

上機題 113

第4章線性方程組的疊代解法 114

4. 1 疊代解法的基本理論 114

4. 1. 1 基本概念 114

4. 1. 2 1階定常疊代法的收斂性 115

4. 1. 3 收斂階與收斂速度 118

4. 2 經典疊代法 120

4. 2. 1 雅詢微屑可比疊代法 120

4. 2. 2 高斯-賽德爾疊代法 121

4. 2. 3 逐次超鬆弛疊代法 123

4. 2. 4 3種疊代法的收斂條件 125

套用實例:桁架結構的應力分析 128

4. 3 共軛梯度法簡介 130

4. 3. 1 最速下降法 130

4. 3. 2 共軛梯度法 133

4. 4 各種方法的比較 137

4. 4. 1 疊代法之間的比較 137

4. 4. 2 直接法與疊代法的對比 140

4. 5 有關數值軟體 141

評述 142

算法背後的歷史:雅可比 144

練習題 145

上機題 146

第5章矩陣特徵值計算 148

5. 1 基本概念與特徵值分布 148

5. 1. 1 基本概念與性質 148

5. 1. 2 特徵值分布範圍的估計 152

5. 2 冪法與反冪法 154

5. 2. 1 冪法 154

5. 2. 2 加速收斂的方法 158

5. 2. 3 反冪法 160

套用實例:Goog l e的PageRank算法 162

5. 3 矩陣的正交三角化 165

5. 3. 1 Hous eho l de r變換 165

5. 3. 2 Gi vens旋轉變換 167

5. 3. 3 矩陣的QR分解 168

5. 4 所有特徵值的計算與QR算法 172

5. 4. 1 收縮技術 172

5. 4. 2 基本QR算法 173

5. 4. 3 實用QR算法的有關技術 176

5. 5 奇異值分解簡介 179

5. 5. 1 基本概念與奇異值分解定理 179

5. 5. 2 有關性質與計算方法 182

5. 6 有關數值軟體 184

評述 186

算法背後的歷史:A. Hous eho l de r與矩陣分解 187

練習題 188

上機題 191

第6章函式逼近與函式插值 193

6. 1 函式逼近的基本概念 193

6. 1. 1 函式空間 193

6. 1. 2 函式逼近的不同類型 196

6. 2 連續函式的最佳平方逼近 198

6. 2. 1 一般的法方程方法 198

6. 2. 2 用正交函式族進行逼近 202

6. 3 曲線擬合與最小二乘法 206

6. 3. 1 問題的矩陣形式與法方程法 206

6. 3. 2 用正交化方法求解最小二乘問題 209

套用實例:核子彈爆炸的能量估計 213

6. 4 函式插值與拉格朗日插值法 214

6. 4. 1 插值的基本概念 214

6. 4. 2 拉格朗日插值法 215

6. 4. 3 多項式插值的誤差估計 218

6. 5 牛頓插值法 220

6. 5. 1 基本思想 220

6. 5. 2 差商與牛頓插值公式 221

6. 6 分段多項式插值 226

6. 6. 1 高次多項式插值的病態性質 226

6. 6. 2 分段線性插值 227

6. 6. 3 分段埃爾米特插值 228

6. 6. 4 保形分段插值 231

6. 7 樣條插值函式 233

6. 7. 1 三次樣條插值 233

6. 7. 2 三次樣條插值函式的構造 234

6. 7. 3 B -樣條函式 236

評述 239

算法背後的歷史:拉格朗日與插值法 240

練習題 242

上機題 244

第7章數值積分與數值微分 246

7. 1 數值積分概論 246

7. 1. 1 基本思想 246

7. 1. 2 求積公式的積分餘項與代數精度 248

7. 1. 3 求積公式的收斂性與穩定性 249

7. 2 牛頓-柯特斯公式 250

7. 2. 1 柯特斯係數與幾個低階公式 250

7. 2. 2 牛頓-柯特斯公式的代數精度 252

7. 2. 3 幾個低階公式的餘項 253

7. 3 複合求積公式 254

7. 3. 1 複合梯形公式 254

7. 3. 2 複合辛普森公式 255

7. 3. 3 步長折半的複合求積公式計算 257

7. 4 龍貝格積分算法與理查森外推 258

7. 4. 1 複合梯形公式的餘項展開式 258

7. 4. 2 理查森外推法 259

7. 4. 3 Rombe r g算法 260

7. 5 自適應積分算法 262

7. 5. 1 自適應積分的原理 262

7. 5. 2 一個具體的自適應積分算法 263

7. 6 高斯求積公式 265

7. 6. 1 一般理論 266

7. 6. 2 高斯-勒讓德積分公式及其他 269

套用實例:探月衛星軌道長度計算 270

7. 7 數值微分 272

7. 7. 1 基本的有限差分公式 272

7. 7. 2 插值型求導公式 274

7. 7. 3 數值微分的外推算法 276

評述 277

算法背後的歷史:“數學王子”高斯 279

練習題 280

上機題 281

第8章常微分方程初值問題的解法 283

8. 1 引言 283

8. 1. 1 問題分類與可解性 283

8. 1. 2 問題的敏感性 284

8. 2 簡單的數值解法與有關概念 286

8. 2. 1 歐拉法 286

8. 2. 2 數值解法的穩定性與準確度 288

8. 2. 3 向後歐拉法與梯形法 290

8. 3 龍格-庫塔方法 292

8. 3. 1 基本思想 292

8. 3. 2 幾種顯式R-K公式 293

8. 3. 3 顯式R-K公式的穩定性與收斂性 297

8. 3. 4 自動變步長的R-K方法 298

8. 4 多步法 300

8. 4. 1 多步法公式的推導 300

8. 4. 2 Adams公式 303

8. 4. 3 更多討論 307

8. 5 常微分方程組與實用技術 307

8. 5. 1 1階常微分方程組 308

8. 5. 2 MATLAB中的實用ODE求解器 311

套用實例:洛倫茲吸引子 314

評述 316

算法背後的歷史:“數學家之英雄”歐拉 317

練習題 318

上機題 320

附錄A 有關數學記號的說明 322

附錄B MATLAB簡介 324

附錄C Py t hon數值計算簡介 344

附錄D 部分習題答案 348

算法索引 352

術語索引 354

參考文獻 362

數值分析與算法（第3版）

基本介紹

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