擬凸函式

擬凸函式是凸集上的一類函式，設S是線性空間中的非空凸集，f是S上的實值函式，若對任何實數α∈(0，1)和S中的任意兩點x₁和x₂，恆有 f(αx₁+(1-α)x₂)≤max{f(x₁),f(x₂)}， 則稱f是S上的擬凸函式，或f在S上是擬凸的，S上的凸函式也是S上的擬凸函式，對於任何α∈(0，1)和任意的x₁，x₂∈S，若f(x₂)≥f(x₁)，而f(x₂)不小於在x₁與x₂連線上一切點的函式值，則f是擬凸的。

基本介紹

• 中文名：擬凸函式
• 外文名：Quasi-convex Function
• 屬性：凸集上的一類函式
• 所屬學科：數學
• 相關概念：擬凸函式、非空凸集等

基本概念

定義

函式 稱為擬凸函式(或者單峰函式)，如果其定義域及所有下水平集

,都是凸集。函式 是擬凹函式，如果 是擬凸函式，即每個上水平集 是凸集。若某函式既是擬凸函式又是擬凹函式，其為擬線性函式。函式是擬線性函式，如果其定義域和所有的水平集 都是凸集。

定義1 設 定義域是凸集 ，若對於任意的 ，都有

則稱 在Z上是擬凸的。

定義2 設 其定義域 ，若對於任意 ， 都有

則稱 在Z上是嚴格擬凸的。

若一 是擬凸(嚴格擬凸)，則稱 是擬凹(嚴格擬凹)的。

定義3 設 其定義域 ，若對於任意的 ，都有 則稱 在Z上是強擬凸的。

若一 是強擬凸的，則稱 是強擬凹的。

對於定義在R上的函式，擬凸性要求每個下水平集是一個區間(有可能包括無限區間)。R上的一個擬凸函式如圖1所示。

圖1

圖1中R上的一個擬凸函式。對於任意 ， 下水平集 是凸集，即某區間。下水平集 是區間[a，b]。下水平集 是區間 。

凸函式具有凸的下水平集，所以也是擬凸函式。但是擬凸函式不一定是凸函式。圖1所示的簡單例子即說明了這一點。

舉例說明

例1 R上的一些例子：

對數函式：定義在 上的函式 是擬凸函式(也是擬凹函式，因此是擬線性函式)。上取整函式:函式 是擬凸函式(亦為擬凹函式)。

從上述例子可以看出，擬凸函式可能是凹函式，甚至有可能是不連續的。下面給出 上的一些例子。

例2向量的長度。定義 的長度為非零分量的下標的最大值，即

(定義零向量的長度為零。)由於此函式的下水平集是子空間

所以它在 上是擬凸函式。

基本性質

在擬凸條件下，凸函式的很多性質仍然成立，或者可以找到類似性質。例如，存在一種變化的Jensen不等式來描述擬凸函式：函式f是擬凸函式的充要條件是， 是凸集，且對於任意 及 ，有

即線段中任意一點的函式值不超過其端點函式值中最大的那個。上述不等式有時稱為擬凸函式的Jensen不等式，圖2所示即為一個擬凸函式的例子。

圖2

和凸性類似，擬凸性可以由函式 在直線上的性質刻畫：函式 是擬凸的充要條件是它在和其定義域相交的任意直線上是擬凸函式。特別地，可以通過將一個函式限制在任意直線上，通過考察所得到的函式在R上的擬凸性來驗證原函式的擬凸性。

R上的擬凸函式

對R上的擬凸函式，我們給出一個簡單的刻畫。由於考慮一般的函式較為繁瑣，所以我們考慮連續函式。連續函式 是擬凸的，若且唯若下述條件至少有一個成立。

1.函式 是非減的；

2.函式 是非增的；

3.存在一點 ，使得對於 (且 )，f非增，對於t≥c(且 )，f非減，點c可以在 的全局最小點中任選一個。圖3描述了這樣的情形。

圖3

相關定理

性質1

設 是強擬凸函式，則 是嚴格擬凸和擬凸函式。

但是嚴格擬凸函式不一定是擬凸函式，例如：

它是嚴格擬凸，但它不是擬凸的。事實上，當函式是下半連續時，由嚴格擬凸性可推出擬凸性。

定理1

設f是定義在凸集 上的實值函式，則對每個 ，f 的水平集都是凸集的充分必要條件是f是擬凸函式。

與凸函式相反，擬凸函式在它的定義域內部可以不連續，而且並非每個局部極小必是一個整體極小。

定理2

設 在凸集 是擬凸函式，若 是f的一個嚴格局部極小值點，則 也是f在Z上的嚴格整體極小值。

定理3

設f 在開凸集 上是可微的，則f 是擬凸函式的充要條件是： ，若

必有

定理4

設f在正則凸集 (有非空內部的凸集)上是擬凸的必要條件是：對每個 ，均有

類似的，擬凹的必要條件是：對每個 有

定理5

設f在正則凸集 上，對每個 有

則f 在Z上擬凸的，每個 有

則f在Z上是擬凹的。

定理6

設f在凸集 上的嚴格擬凸函式， 是f的一個局部極小值點，則 也是f在Z上的整體極小值點。