指數插值

指數插值(exponential interpolation)是常用的插值方法之一，指用指數函式之和作為插值函式的插值方法。例如，在分析放射性元素衰減時常被採用。

基本介紹

• 中文名：指數插值
• 外文名：exponential interpolation
• 領域：數學
• 學科：數值逼近
• 性質：常用插值方法之一
• 定義：用指數函式之和作為插值函式

概念

常用的插值方法之一。指用指數函式之和作為插值函式的插值方法。例如，在分析放射性元素衰減時常被採用。給出樣點(x_i，f_i) (i=0，1，…，n)，及兩兩互異的實數λ₀，λ₁，…，λ_n，求：

使其滿足插值條件：

此即指數插值問題。它歸結為以a₀，a₁，…，a_n為未知數的線性方程組的求解問題。

插值

插值是數值逼近的基本方法和主要研究方向。是從某函式的某些給定的離散點上的已知值或導數值出發補插出該函式的數值方法的總稱，是函式數值逼近的重要組成部分。

給定函式f(x)在n+1個互異點的值f(x_i)(有時還給定某些點的某些導數值)，i=0，1，…，n，在某函式類Φ中尋求函式φ(x)，使之φ(x_i)=f(x_i)(有時還要求在某些點處某些導數值相等)，則稱之為插值問題。f(x)是待求的被插值函式，φ(x)被稱為f(x)的插值函式。函式類Φ可以是不同函式類，如取Φ作代數多項式、有理函式、指數函式、三角多項式等，於是就相應有代數多項式插值、有理插值、指數插值、三角插值等不同類型的插值方法。

插值問題的主要研究內容是：給定被插函式f(x)的插值節點，插值函式類Φ，插值條件，滿足插值條件的函式φ(x)(∈Φ)的存在性、惟一性和構造問題；插值函式作為被插函式的近似的誤差估計問題；以及當插值結點逐漸加密，並相應擴充插值函式類的插值過程的收斂性和穩定性問題。

利用插值方法通過函式在有限個點處的取值狀況估算出該函式在未知點處的值，是求近似值的最基本最常用的手段。中國劉焯早在公元6世紀就將等距二次插值用於天文計算。英國數學家、物理學家牛頓(Newton，I.)和格雷果里(Gregory，J.)於17世紀建立了等距節點上的插值公式；法國數學家、力學家拉格朗日(Lagrange，J.-L.)於18世紀給出了一般的非等距結點上的插值公式；他們套用插值公式於航海與天文計算中。許多現代數值計算方法都直接或間接地利用了在離散數據的基礎上補插出連續函式的思想和方法，例如數值積分、有限差分方法、有限元法和有限體積方法等。

指數函式

指數函式是數學中重要的函式。套用到值e上的這個函式寫為exp(x)。還可以等價的寫為e，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。

當a>1時，指數函式對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0<a<1時，指數函式對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於0的時候，y等於1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識得：

作為實數變數x的函式，的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函式是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。

有時，尤其是在科學中，術語指數函式更一般性的用於形如（k屬於R） 的函式，這裡的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函式。

指數函式的一般形式為(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1。

數值逼近

泛指數學計算問題的近似解法。狹義的理解則專指對函式的逼近，即對於給定的較廣泛的函式類F中的函式y=f(x)，從較小的子類H中尋求在某種意義下f的一個近似函式h(x)，以便於計算和處理。

最早的數值逼近工作始於18世紀到19世紀初歐拉、拉普拉斯、傅立葉、龐斯列等人對一些個別函式的最佳逼近問題的研究工作，這些問題是從繪圖學、測地學、機械設計等方面的實際需要中提出的。但當時沒有形成深刻的概念和統一的方法。1854年，切比雪夫提出了最佳逼近的概念，研究了逼近函式類(H)是n次多項式時最佳逼近元的性質和判定定理。後來又與其學生在這方面得出許多重要的結果。1885年外爾斯特拉斯證明，原則上任何連續函式都可以用多項式以任何預先指定的精確度在函式的定義區間上一致地近似表示出來，開創了多項式逼近理論。如果考慮到怎樣逼近才最好的問題，就得出最佳一致多項式逼近理論，這正好是切比雪夫的思想。可以說，切比雪夫和外爾斯特拉斯是現代數值逼近的奠基人。D.傑克森於1911年對逼近階，即逼近的極小極大偏差當n增長時的下降速度進行研究，探討逼近偏差與被逼近函式的構造(光滑性)的關係;次年，伯恩斯坦用逼近階來反推被逼近函式的構造性質。他們有力地推動了數值逼近的發展。20世紀30年代中期，J.A.法瓦爾和柯爾莫戈羅夫開創周期可微函式類藉助於三角多項式的最佳逼近的精確估計以及藉助於傅立葉級數部分和的一致逼近的漸近精確估計的工作，把傑克森等的工作推向新的高度。從那時起，直到20世紀60年代，C.M.尼科利斯基等人在這方面繼續取得重要的成果。從實際套用的角度看，要解決一個函式的最佳逼近問題，需要構造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般地，要精確解決這兩個問題十分困難，這促使人們為尋求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估計而設計出各種算法，例如列梅茲算法、極小極大(勞勃)算法、遞推算法等。近20年來由於高速電子計算機的廣泛套用，數值逼近的理論和方法發展迅速，成為計算數學和套用數學的重要分支，其結果被廣泛用於構造數值積分、求函式零點、解微分方程和積分方程的近似方法等各種問題中。