指數型母函式

普通型母函式主要是來求組合的方案數,而指數型母函式是求多重排列數。

基本介紹

  • 中文名:指數型母函式
  • 所屬學科:數學
問題引出,定義,

問題引出

指數型母函式問題:
假設有n個元素,其中a1,a2,····,an互不相同,進行全排列,可得n!個不同的排列。若其中某一元素a1重複了n1次,全排列出來必有重複元素,其中真正不同的排列數應為n!/n1!,即其重複度為n1!
同樣理由a1重複了n1次,a2重複了n2次,····,ak重複了nk次,n1+n2+····+nk=n。對於這樣的n個元素進行全排列,可得不同排列的個數實際上是

定義

對於序列a0,a1,a2,····定義
Ge(x)=
+
為序列{
}的指數型母函式
舉例:
設n是正整數。確定下列數列的指數生成函式
p(n,0),p(n,1),p(n,2),…,p(n,n)
其中p(n,k)表示n元素的k排列的數目,因此對於k=0,1,2,…,n,這個排列的數目是n!/(n-k)!。因此指數生成函式是:
因此
是數列p(n,0),p(n,1),p(n,2),…,p(n,n)的指數生成函式。

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