《指數函式的概念》是雲南師範大學實驗中學學校提供的微課課程，主講教師為張青松 。
基本介紹
- 中文名：指數函式的概念
- 主講教師：張青松
- 提供學校：雲南師範大學實驗中學
- 類 別：微課
課程簡介,設計思路,
課程簡介
學情分析：在之前的學習中，學生已經了解實數指數冪的意義，並且掌握冪的運算. 然而，學生從具體到一般地歸納、概括數學概念的能力尚在形成，因此本微課採用生活情境引入、提煉研究模型、構建數學概念、套用實例演示、回顧總結、課外鞏固的五個環節層層遞進的學習方式，引導學生從指數函式的實際背景中觀察、抽象概括指數函式概念，同時又將指數函式模型套用到實際問題中去. 教學目標： 1．使學生了解指數函式模型的實際背景，認識數學與現實生活的聯繫； 2．理解指數函式的概念和意義. 教學重點、難點： 1．教學重點：指數函式概念的歸納概括； 2．教學難點：體會從具體到一般地構建概念的研究過程和方法.
設計思路
一、情景引入 展示第1張幻燈片-------你好，本節微課講解“指數函式的概念”．在電視節目上，有這樣一個數學問題(展示視頻) 展示第2張幻燈片-------將一張紙對摺42次就能超過地球到月球的距離，聽起來有些不可思議，那么是否有這個可能呢？現在，開始我們的探究之旅吧！ 【設計意圖】利用電視節目視頻展示一個生活中的小問題激發學生的學習興趣，使學生了解指數函式模型的背景. 展示第3張幻燈片------- 將紙對摺1次，層數是2，即2^1；對摺2次，層數是4，即2^2；對摺3次，層數是8，即2^3；對摺4次，層數是16，即2^4，我們可以看出層數增加的速度很快，對摺x次，層數就是2^x，對摺次數x與層數y之間的關係是y=2^x，x∈N；好，接著看第二個問題． 展示第4張幻燈片------- 將紙對摺1次，面積是1/2，即(1/2)^1；對摺2次，面積是1/4，即(1/2)^2；對摺3次，面積是1/8，即(1/2)^3；對摺4次，面積是1/16，即(1/2)^4，可以看出小矩形面積減少的速度也很快，對摺x次，所得面積是(1/2)^x，對摺次數x與所得面積y之間的關係是(1/2)^x，x∈N. 【設計意圖】利用動畫展示y與x的變化，讓學生體會其中隱含的函式關係，為引出指數函式的概念做準備. 二、提煉模型，構建概念 展示第5張幻燈片-------在摺紙問題中，我們得到兩個函式 y=2^x，x∈N；(1/2)^x，x∈N . 請思考這兩個函式有何共同特徵? 我們可以發現，兩個函式都是冪的形式，底數是常數，自變數x在指數位置上且取值範圍是自然數集N，綜合上述特徵，這類函式可記作y=a^x，x∈N的形式(其中a是常數). 【設計意圖】提煉出指數函式y=a^x模型. 展示第６張幻燈片-------為使函式y=a^x套用更廣泛, 當x取全體實數時，底數a的範圍有限制嗎？ 當a＞0時，由指數冪運算知 y=a^x有意義；當a=1時，y=ax是一個常值函式，無研究必要；當a=0時，x＞0，y=a^x恆等於零，x≤0 , y=a^x無意義；當a＜0時， y=a^x不一定有意義. 【設計意圖】引導學生利用所學知識理解a的取值範圍. 展示第7張幻燈片-------根據上述分析，一般地，函式y=a^x(a＞0，且a≠1)叫做指數函式，其中x是自變數，函式的定義域是R． 在定義中需注意兩點：一是a＞0且a≠1表示0＜a＜1 或a＞1；二是指數函式具有嚴格的形式性，a^x前係數只能是1，指數的位置只能是自變數x． 三、套用示例 展示第8張幻燈片-------學完指數函式的概念後，我們來看一下怎么用它來解決問題，先看第一個題：已知指數函式f(x)=a^x的圖象經過點(3, π)，求f(1)、f(0)、f(-3)的值. 請思考：確定一個指數函式需要什麼條件呢？只要將常數a確定了，指數函式也隨之確定. 通過計算，我們發現該指數函式的函式值隨自變數的增大而增大，即這個函式有可能是增函式，事實是這樣嗎？該問題將在下一個微課《指數函式的圖象和性質》中得到解決. 【設計意圖】明確底數a是確定指數函式的要素，通過本例學生還可初步感知指數函式的單調性，為學習下一專題《指數函式的圖象和性質》作準備. 展示第9、10張幻燈片-------接著看第二個問題：按複利計算利息的一種儲蓄, 本金為a元, 每期 利率為r, 設本利和為y元, 存期為x. (1) 寫出本利和y隨存期x變化的函式解析式.注釋：複利是把前一期的利 息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息. (2) 如果存入本金1 000元，每期利率為2.25%，試計算5期後的本利和是多少(精確到1元)？ (過程略) 本題中, 是形如 y=ka^x的函式，是一種套用範圍較廣的指數型函式.本課視頻中，將一張紙對摺42次就能超過地球到月球的距離就涉及到指數型函式. 【設計意圖】通過本例的學習，不僅讓學生初步體會指數增長，還導出常用的指數型函式. 四、回顧總結 展示第11張幻燈片-------一張A4紙厚度大約是0.1毫米 (即10-7公里)，對摺x次後，厚度為y=10^(-7)×2^x公里，對摺42次約為439 804公里，超過地球與月球的平均距離384 400公里，因此理論上是成立的. 然而，網上有種說法：一張紙最多能對摺9次，該說法靠譜嗎？聰明的你可以實驗一下. 【設計意圖】回顧本節課開始的問題，一方面讓學生學會用所學知識解決問題，另一方面培養學生不輕易信從的思辨能力和通過實踐檢驗結論的探究精神. 最後，我們對所學內容做個簡要回顧：指數a^x形式強，a前為1 x右上. 若將k把1來換，指數型，套用廣. 感謝你認真聽完這個微課，我的下一個微課將講解《指數函式的圖象和性質》，再見. 【設計意圖】通過口訣形式總結所學知識，不但簡潔明了而且學生容易記住. 五、課後鞏固 截止到1999年，我國人口約13億.如果今後能將人口年平均增長率控制在1%，那么經過20年後，我國人口數量最多為多少(精確到億)
