拋物線坐標系

拋物線坐標系（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以套用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

基本介紹

• 中文名：拋物線坐標系
• 外文名：Parabolic coordinates

二維拋物線坐標系

直角坐標 可以用二維拋物線坐標表示為

其中，。

反算回來，二維拋物線坐標可以用直角坐標 表示為

坐標為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

而坐標為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子

拋物線坐標的標度因子相等：

因此，面積的無窮小元素是

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，像都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標可以用三維拋物線坐標表示為

其中， ，方位角 定義為

反算回來，三維拋物線坐標 可以用直角坐標表示為

每一個 -坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

而每一個>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子

三維標度因子為：

我們可以觀察出，標度因子 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，像，都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。