拋物型偏微分方程

簡稱拋物型方程，一類重要的偏微分方程。熱傳導方程是最簡單的一種拋物型方程。 熱傳導方程研究熱傳導過程的一個簡單數學模型。根據熱量守恆定律和傅立葉熱傳導實驗定律導致熱傳導方程。

基本介紹

• 中文名：拋物型偏微分方程
• 外文名：system of parabolic partial differential equations
• 簡稱：拋物型方程
• 類別：重要的偏微分方程
• 種類：熱傳導方程

定義

拋物型偏微分方程組簡稱拋物型方程組 (system of parabolic equations,parabolic system)。對於拋物型方程組，一般來說，最大值原理和比較原理並不成立。

二階拋物線方程組

先定義二階拋物線方程組，僅以散度型的二階線性方程組為例。記 u=（u₁,...,u_k），

設 Q 是 中的一個集合，並且對於每一個正整數組（i，j）， ，A_ij (x,t) 是定義在 Q 上的 矩陣。考慮下面的二階線性偏微分方程組：

(1)

如果對任意的 和任意的 矩陣 的譜都位於右半平面，即譜的實部大於零，則稱方程組（1）在 Q 上是二階線性拋物型方程組。

高階拋物型方程組

高階拋物型方程組的定義比較複雜，下面僅介紹高階偏導數項不耦合的方程組。

假設對於 i=1,...,k，關於 u_i 的偏微分方程

是 2m_i 階拋物型方程，其中， 是整數。這時，稱偏微分方程組

是拋物型方程組，其中

對於一個拋物型方程組，如果每個方程式中耦合最多是未知函式的耦合，而沒有未知函式的偏導數的耦合，就稱這樣的拋物型方程組為弱耦合，否則稱為強耦合。

例如，方程組

是一個耦合拋物型方程組，這裡 d₁,d₂>0。下面的方程組

是一個強耦合拋物型方程組，其中a₁,a₂,b₁,b₂中至少有一個不為零，這裡 d₁,d₂> 0。