拉格朗日乘子法

基本的拉格朗日乘子法就是求函式f(x1,x2,...)在約束條件g(x1,x2,...)=0下的極值的方法。

其主要思想是將約束條件函式與原函式聯立，從而求出使原函式取得極值的各個變數的解。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日乘子法
• 外文名：Lagrange multiplier
• 別名：拉格朗日乘數法
• 主要思想：引入一個新的參數λ
• 求的內容：極值

定義

對於具有l個等式約束的n維最佳化問題

,

把原目標函式 改造成為如下形式的新的目標函式

式中的 就是原目標函式 的等式約束條件，而待定係數 稱為拉格朗日乘子。這種方法稱為拉格朗日乘子法。

在極值點處，有 和 ，共有n+l個方程，足以算出這n+l個變數，此法也稱為升維法。

基本原理

拉格朗日乘子法是一種經典的求解條件極值的解析方法，可將所有約束的最佳化模型問題轉化為無約束極值問題的求解。一般帶不等式約束的最最佳化問題求解如下式：

拉格朗日乘子法是用於變數無關的是常數 分別乘各約束函式 並與目標函式相加得到如下的拉格朗日函式： ，式中： 為自變數； 為拉格朗日乘子量； 為鬆弛變數。

則 在 處取極值的必要條件為： ，依據上式求得 即為最優解。

計算過程

1.假設需要求極值的目標函式(objective function)為f(x,y)，限制條件為φ(x,y)=M

2.設

3.定義一個新函式

4.用偏導數方法列出方程：

5.求出x,y,λ的值，代入即可得到目標函式的極值

關鍵參數含義

（1） 是由參數M所引起的約束條件變化時，對目標函式最優值影響的度量；或者說表示了最優值的“靈敏度”。

（2）當約束條件M增加一個單位時，目標函式值f將近單位。

（3）在經濟學上參數 表示產品或資源M增加一個單位時，所帶來的最大社會效益f，常稱為“邊際效益”或“臨界值”，在商業經營決策中很有用處。

直觀意義

引理一

如果函式 是光滑的，並且 是 的一個正則點（即 ），那么， 垂直於過 的 的等值線。

引理二

在等值面 上的每個正則點 ，向量 垂直於等值面，並且這個向量是唯一的（不計其某一常數倍）。

定理

假設 在曲面S: 上的點 有最大（小）值，並且 不是 的臨界點（g的三個偏導數都等於零的點叫g的臨界點），則 平行於 ，即存在某個常數 ，使 = 。

部分套用

在條件最值中的套用

設 的最值存在，且 ， ， 在 上時不同時為零，則最值點必是極值點，從而必是Lagrange函式的駐點。

在不等式證明中的套用

設 在條件 之下的最大值為B(a)，則 。

在求隱函式極值中的套用

實際用途

假設目標函式代表一個工廠生產產品的數量，約束條件限制了生產中投入的原料和人力的總成本，我們求目標函式的極值，就是要求在成本一定的條件下，如何分配利用人力和原料，從而使得生產量達到最大。此時λ便代表，當成本條件改變時，工廠可達到的生產量最大值的變化率。