拉普拉斯定理

設在獨立試驗序列中，事件A在各次試驗中發生的機率為p(0<p<1)，隨機變數η^n表示事件A在n次試驗中發生的次數。

公式

則有：

其中z為任意實數，q=1-p.

證：設隨機變數ξ^i表示事件A在第i次試驗中發生的次數(i=1,2,…,n,…)，則ξ^i服從“0-1”分布，且有：

直接由列維定理就得此定理。

近似公式

在上述定理條件下，當n充分大時，η^n落在m₁與m₂之間的機率

註：此定理實際上說明了當n充分大時，二項分布B(n,p)逼近常態分配N(np,npq)，這是因為η^n是服從二項分布B(n,p)的。

套用例子

例 某批產品的次品率為0.005，試求不多於70件的機率P。

解 設ξ表示在任意抽取的10000件產品中的次品數，則ξ服從二項分布B(10000,0.005)。此時若直接計算機率

這是較困難的。我們利用近似公式來計算，則

已知n=10000,p=0.005,q=0.995,np=50,

，故

模擬試驗

獨立同分布的n個隨機變數之和的分布，當n越來越大時，逐漸接近常態分配，即兩密度曲線越來越接近。我們用指數分布來試試看