哈密爾頓－凱萊定理

在線性代數中，凱萊-哈密頓定理(Cayley–Hamilton theorem)（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·盧雲·哈密頓命名）表明每個布於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。

基本介紹

• 中文名：哈密爾頓－凱萊定理
• 外文名：Cayley–Hamilton theorem
• 分類：數理科學

定義

明確地說：設 為給定的 矩陣，並設 為 單位矩陣，則 的特徵多項式定義為：

其中 det 表行列式函式。凱萊-哈密頓定理斷言：

凱萊-哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若爾當標準形時特別有用。

例子

舉例明之，考慮下述方陣：

其特徵多項式為

此時可以直接驗證凱萊-哈密頓定理：

此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係：

例如，為了計算{\displaystyle A^{4}}，可以反覆利用上述關係式：

或是，如果要計算 ，也可以假設：

然後，依照前面的特徵多項式之兩解 ，代入後可以得到

然後解方程後求出 ，便可得 .

此外，凱萊-哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。

注：一般而言，若 矩陣 可逆（即： ），則 可以寫成 的冪次和：特徵多項式有如下形式

將方程式 同乘以 ，便得到

定理證明

以下考慮布於域 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 是 矩陣，而 表其伴隨矩陣，則

取 ，便得到 。此式對所有 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環內成立。

設 ，矩陣 賦予 一個 -模結構： 。考慮 模 ，我們有 -模之間的“求值態射”：

固定 ，對 中的等式

右側取 後得到 ，左側取 後得到 。明所欲證。

一個簡單的證明： 令：

由:

得：

因兩多項式，他們的對應項係數相等得：

在等式兩邊t的i次項係數分別乘以A, 並將等式左右兩邊分別相加併合項得：

得證.

抽象化與推廣

前述證明用到係數在 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個交換環 上的任何有限生成自由模（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。