基本介紹
定義,公式,證明,相關定理,
定義
在數學中,拉普拉斯展開(或稱拉普拉斯公式)是一個關於行列式的展開式。將一個 矩陣B的行列式進行拉普拉斯展開,即是將其表示成關於矩陣B的某一行(或某一列)的 n個元素的 餘子式的和。行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行(或按某一列)的展開。由於矩陣B有 n行 n列,它的拉普拉斯展開一共有 2n種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理,是將一行的元素推廣為關於k行的一切子式。它們的每一項和對應的代數餘子式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開可以減少對於矩陣B之行列式的計算,拉普拉斯公式也常用於一些抽象的推導中。
公式
設B= (bij)是一個n×n矩陣。B關於第i行第j列的餘子式Mij是指B中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的 餘子式。B的 代數餘子式:Cij是指B的 餘子式Mij與(−1)的乘積:
Cij= (−1)Mij
拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出,為如下公式:對於任意i,j∈ {1, 2, ...,n}:
考慮以下的矩陣:
這個矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計算:
也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計算:
很容易看到這個結果是正確的:這個矩陣是奇異的,因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例,因此它的行列式是零。
證明
設B是一個 的矩陣, 。為了明確起見,將 的係數記為 ,其中 。
考慮B的行列式|B|中的每個含有 的項,它的形式為: