戴德金分割
則稱為實數集R的一個“戴德金分割”,記作(S,T)。
“
戴德金分割”的第一條要求是左集S與右集T都不是
空集,也就是說它們中都有
實數,簡稱為不空。第二條要求是S和T包含了所有的實數,換句話說,對於任何一個實數或者屬於左集S或者屬於右集T,二者必居其一,簡稱為不漏。第三條要求是左集S中的實數都比右集T中的實數小,簡稱為不亂。由第三條可以推知左集中的實數不會在右集中出現,右集中的數也不會在左集中出現。若x屬於左集,凡小於x的實數也都屬於左集,若y屬於右集,凡大於y的實數也都屬於右集。
例如令
T={x∈R | x≥1}。
這也確定了一個戴德金分割(S,T)。
第一個戴德金分割中,左集S有最大數
,而右集T沒有最小數;第二個戴德金分割正相反,左集S沒有最大數,而右集T有最小數1。
和1都叫做相應的戴德金分割的中介點。一般說來,實數上的戴德金分割必有中介點,下面的定理便說明這一點,而在有理數集上若類似地作一個戴德金分割就不一定有中介點了。例如若令S={x∈Q | x≤0,或x≤2),T={x∈Q | x>0,且x>2)則(S,T)構成對
有理數集Q的戴德金分割,但左集S無最大數;右集T無最小數,也就是(S,T)沒有中介點。
實數的構造
在對有理數集Q利用戴德金分割構造實數之前,先給出一個引理:任意兩個有理數之間,必然存在無數個有理數。引理非常容易證明,設a和b是兩個有理數,那么它們的算術平均值
也必然是有理數並且c一定介於a和b之間。
現在對有理數集Q任意作一個戴德金分割(S,T),此時可能會出現以下3種情況。
不存在(4)S中有最大值,且T中有最小值。這是因為如果設S中的最大值為a,T中的最小值為b,根據引理,它們的算術平均數c也是有理數且a<c<b。但因為a是S中的最大值,所以c不在S中。而b是T中的最小值,所以c也不在T中。這就導致了有理數c不屬於S和T的任意一個集合,與戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。
對於情況(1)和(2)戴德金稱該分割確定了一個有理數,或者把這樣的分割叫做一個有理數。對於(3),戴德金稱該分割確定了一個無理數,或者把這樣的分割叫做一個無理數。有理數和無理數統稱為實數,記做R,因此每個實數就是一個對有理數集Q的分割。
在這樣的定義下可以給出實數相等的定義以及大小的比較。
相等:設實數a、b是兩個戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'(此時必有T=T'),則稱a=b。
大小比較:若集合S⫋S',則稱a<b。若集合S⊆S',則稱a≤b。
也就是說,要證明兩個實數相等,只需要證明分割所得到的S和S'相等。
戴德金定理
實數集R的任一戴德金分割(S,T),都唯一地確定一個實數
(稱為中介數或中介點),它或者是S的最大數(此時T中無最小數),或者是T的最小數(此時S中無最大數)。