恆等變形

恆等變形(identical deformation)是解析式的一種變換，把一個代數式變成另一個與它恆等的代數式，叫做恆等變形，或恆等變換。例如：由代數式4x²y+3x²y變成7x²y是恆等變形。

基本介紹

• 中文名：恆等變形
• 外文名：identical deformation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數（解析式）
• 別名：恆等變換
• 簡介：把代數式變成與它恆等的代數式

基本介紹

.將一個給定的解析式變換成另一個與它恆等的解析式，稱為解析式的恆等變形。恆等變形的具體意義有以下兩種：

1.若以x₁，x₂，…，x_n為變數字母的解析式f(x₁，x₂，…，x_n)與g(x₁，x₂，…，x_n)有相同的定義域D，且在D上等值，則f(x₁，x₂，…，x_n)與g(x₁，x₂，…，x_n)在D上的相互替換，稱為恆等變形。例如在實數集R上，解析式(x+y)²與x²+2xy+y²可以互相替換.

2.若以x₁，x₂，…，x_n為變數字母的解析式f(x₁，x₂，…，x_n)與g(x₁，x₂，…，x_n)的定義域分別為D₁與D₂，且D₁≠D₂，但在D₁∩D₂=D≠∅上兩解析式等值，則在D上f(x₁，x₂，…，x_n)與g(x₁，x₂，…，x_n)的相互替換亦稱為恆等變形。例如e^{(ln x)/3}與的定義域分別是D₁=R⁺，D₂=R，則在D₁∩D₂=R⁺上，解析式e^{(ln x)/3}與的相互替換就是這種意義下的恆等變形。

恆等變形的更一般的意義是：若在所討論範圍內用表示同一關係的等號=聯繫著兩個式子，形成該討論範圍的一個恆等式，則稱這個恆等式兩端式子的相互替換為恆等變形。

例題解析

【例1】證明：。

證明：設則

寫出的表達式

可見a是下列三次方程的根

由於是實數，所以它們的和a也是實數，因為，由式（1）得a-4=0，即左端=。

【例2】證明：。

證明：設，則

所以

但是

所以左端。

從例1和例2可以看到：兩個無理數的和或差可能是一個有理數或整數具體的例子。