快速小波變換

快速小波變換，也叫快速小波轉換（英語：Fast wavelet transform）是利用數學的演算法則用來轉換在時域的波形或信號變成一系列的以正交基底構成的小而有限的波、小波。 當然，快速小波轉換本身可以很輕易地擴增它的維度以符合各種不同的需求，例如影像處理、壓縮、去除噪聲…等。

基本介紹

• 中文名：快速小波變換
• 外文名：Fast wavelet transform

定義

快速小波轉換它具有有限生成的正交多分辨分析（MRA）的裝置作為理論基礎。在那裡給出的術語中，選擇採樣率為每單位間隔2J的採樣比例J，並將給定信號f投影到空間

理論上通過計算標量產品。

其中 是所選小波變換的縮放函式;實際上，在信號被高度過採樣的情況下，通過任何合適的採樣程式，所以

是 中的原始信號的正交投影或至少一些好的近似。

MRA的特徵在於其縮放序列

及其小波序列

或 （某些係數可能為零）。那些允許計算小波係數 ，至少某些範圍k = M，...， J-1，無需近似相應標量積中的積分。相反，在卷積和抽取運算元的幫助下，可以直接從第一個近似 計算這些係數。

前項離散小波轉換

一個遞歸計算，從係數序列 開始並從k = J-1倒計數到某個M <J，

對於k = J-1，J-2，...，M和所有 。在Z變換表示法中：

下採樣運算符（↓2）減少了一個無限序列，由其Z變換（簡稱為Laurent級數）給出了具有偶數索引的係數序列 。
加星標的Laurent多項式 表示伴隨濾波器，它具有時間反轉的伴隨係數 （實數的伴隨是數字本身，它是一個複數的共軛，是一個實矩陣的轉置矩陣，是一個複雜矩陣的偶然伴隨）。
乘法是多項式乘法，相當於係數序列的卷積。

它遵循

是原始信號f或至少第一近似值 到子空間的正交投影 ，即每單位間隔採樣率為2k。與第一近似的差異由下式給出：

其中差異或細節信號是從細節係數計算的

用 表示小波變換的母小波。

離散小波變換

在數值分析和功能分析中，離散小波變換（DWT）是對小波進行離散採樣的任何小波變換。與其他小波變換一樣，它相對於傅立葉變換具有的一個關鍵優勢是時間解析度：它捕獲頻率和位置信息（時間位置）。

信號x的DWT通過將其傳遞給一系列濾波器來計算。首先，樣本通過一個脈衝回響g的低通濾波器，導致兩者卷積：

使用高通濾波器h同時分解信號。 輸出給出細節係數（來自高通濾波器）和近似係數（來自低通）。重要的是兩個濾波器彼此相關，它們被稱為正交鏡像濾波器。

然而，由於信號的一半頻率現已被刪除，根據奈奎斯特的規則，可以丟棄一半的樣本。然後，上圖中的低通濾波器g的濾波器輸出被2進行二次採樣，並通過再次通過新的低通濾波器g和傳遞濾波器h，其截止頻率是前一個截止頻率的一半，即：

這種分解使時間解析度減半，因為每個濾波器輸出只有一半表徵信號。但是，每個輸出都有輸入頻帶的一半，因此頻率解析度增加了一倍。

使用子採樣運算符↓

上述總結可以寫得更簡潔。

然而，計算完整的卷積以及隨後的下採樣會浪費計算時間。提升方案是這兩個計算交錯的最佳化。