復形

復形

復形是組合拓撲的基本概念之一,許多種拓撲空間的研究都可化歸為復形拓撲性質的研究,復形是不同維的正常分布的單純形之總和,即復形中任意兩個單純形,或不相交,或僅具有公共邊界等。此外,復形中單純形所有邊界均屬於單純形,復形中單純形最高維數稱之為復形的維數。

基本介紹

  • 中文名:復形
  • 外文名:complex
  • 別稱:單純復形,幾何單純復形等
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:組合拓撲(單純同調論)
基本介紹,單純復形的連通性,相關定義與定理,單純形,單純形,有向單形與無向單形,單純複合形(復形),有向單形的基本組,鏈,鏈邊界,

基本介紹

單純復形(simplicial complex)亦稱幾何單純復形,是單純同調論中的一個基本概念,是用單形構造的並且按一定規則組成的圖形,它是定義一類拓撲空間的工具。
下面用單形構造更複雜的圖形——復形:
定義 K是單形的有限集合。如果K滿足
(1) 若
是K的單形,則
的任意面都屬於K;
(2) K中所有有單形都規則相處(見下文“規則相處”的介紹);
那么稱K為單純復形,簡稱復形。K中單形維數的最大值為K的維數,記作
,K的零維單形稱為K的頂點。

單純復形的連通性

單純復形的連通性(connectivity of simplicial complex)是拓撲空間的連通性在復形上的推廣。若復形K不是兩個非空不相交的子復形的並集,則稱復形K是連通的。若L是復形K的連通子復形,並且L不是任何其他連通子復形的真子復形(實際上L是K的極大的連通子復形),則稱L為K的一個連通分支,復形K的連通性等價於下列各條件:
1.對於復形K中任意頂點a與b,存在K的一系列頂點
,使得
都是K的1維單形
2.復形K的多面體
道路連通的。
3.復形K的多面體
是連通的。
任意復形K都是有限個互不相交的連通分支
的並,因此多面體
是相同個數互不相交的連通分支
的並,若單純復形K是
個連通分支
的並集,則各維同調群
有下列直和分解
對於零維同調群,當復形K是連通復形時,
,這裡Z是整數加群。而當復形K是r個連通分支的並集時,
是r個整數加群Z的直和,即

相關定義與定理

單純形

Rn中的點,若
具有線性關係,則說明這一組點占有最廣的位置。當
時就是一個點,自然此點占有最廣位置。

單純形

Rn中占有最廣位置的
點,而
,則我們稱點
的集合
q維單純形,簡稱q維單形
稱為
頂點,故常將
記作
,而係數
稱為此單純形的重心坐標
定義對於q維單形
,稱
的(
)個頂點中的
個點
所構成的
維單形
的一個r維面,
的0維面就是頂點,把1維面稱為棱。
例1考慮3維單形
,對於點
,就有
例如,
維面,
為棱,
為面,
為體,如圖1所示。
圖1 3維單形(四面體)圖1 3維單形(四面體)

有向單形與無向單形

時,
點有
個排列,它們決定同一個
,這樣的單形
被稱為無向單形,在
排列中,有一半是偶置換,一半是奇置換,因而這兩個置換等價類構成了
兩個定向,指定一個定向單形稱為有向單形,簡記“
”=
,這裡指頂點次序為
的有向單形;另一個定向單形記作“
”=
,以單純形作為構件,可以組成單純複合形、多面體和鏈。

單純複合形(復形)

如果
或是一個公共面,則單形
規則相處的,如圖2所示,否則是不規則相處的,如圖3所示。
圖2 規則相處圖2 規則相處
圖3 不規則相處圖3 不規則相處
設W是Rn中有限個單形集合,如果W滿足下列兩個條件:
(1)如果
的任一面也屬於W;
(2)W的任意兩個單形
規則相處,
則稱W為單純複合形,簡稱為復形,如圖4所示;否則是非復形,如圖5所示。
圖4 復形圖4 復形
圖5 非復形圖5 非復形

有向單形的基本組

設W是一個n維復形,它的全體無向單形
都己任意地規定了一個定向,這裡
為W中q維單形的個數,這樣,得到一組有向單形
上式稱為W的有向單形的基本組

為n維復形W的一個基本組,對於
,形式地定義
稱為W的一個q維鏈
1維鏈可看作是有向的折線。

鏈邊界

如果把邊界運算元
擴展到有向單形和復形上去,則有下面的鏈邊界。
定義對於任意q維有向單形
,我們定義(
)維鏈
稱之為
邊界鏈或簡稱邊界。式中
表示缺
這一點,也可以把
擴展到W的q維鏈
上去,定義W的任意q維鏈
的邊界為
由此可見,邊界運算元
建立了鏈群
的一個同態:

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