抽象單形

對於一個以 A 為頂點集的抽象復形 𝓚，復形 𝓚 中的元素稱為復形 𝓚 的抽象單形。

基本介紹

• 中文名：抽象單形
• 外文名：abstract simplex
• 適用範圍：數理科學

簡介

引入

抽象復形是幾何復形的一種抽象，將幾何單純復形的一些良好性質，利用同構復形的思想，加以抽象化就得到抽象復形的概念。同構的復形對應同一個抽象復形。

設是非空的有限幾何，𝒦 是 A 中某些指定的非空子集組成的子集族，稱 𝒦 滿足：

1、單點集 都屬於 𝒦 。

2、對於 A 的每一個指定子集的非空子集還是一個指定子集，即，如果 S，S’ 是 A 的子集，並且𝒦，，那么𝒦。

定義

設 𝒦 是抽象復形，若𝒦，則稱 S 為抽象單形；當 S 中有 q+1 個元素時，稱 S 為 q 維抽象單形；零維抽象單形稱為頂點；𝒦 中諸抽象單形的維數最大值，稱為抽象復形 𝒦 的維數。

性質

如果一個抽象單形S作為A的子集所含元素個數為n+1，則S稱為n維單形。抽單形S和S'作為A 的子集有包含關係S'⊂S.則稱S'是S的一個面。

如果一個抽象復形𝓚與一個單純複合形K的頂點之間建立了一個一一對應，並且在此對應下，K的一個頂點的子集是K中某一單純形的頂點集若且唯若其對應像是𝓚中某一抽象單形的頂點集，那么單純複合形K稱為抽象復形𝓚的幾何實現。一個抽象單形總是有幾何實現的，但不唯一，同一抽象單形的不同幾何實現有著相同的單純形之間的包含與相交關係。