廣義連續統假設

廣義連續統假設簡稱GCH，連續統假設的推廣，是對一般無窮基數的冪的一種假設。它可以敘述為:對任何無窮集合A，不存在集合的勢大於A的勢而小於冪集P(A)的勢。廣義連續統假設在 ZF系統中是不可判定的。

基本介紹

• 中文名：廣義連續統假設
• 外文名：generalized continunnm hypothesis(GCH)
• 適用範圍：數理科學

定義

廣義連續統假設是連續統假設對每一個無限集合的推廣：如果 X 是一個無限集合， ，而且 A 和P（X）不等勢，那么必有 A 的勢小於等於 X 的勢，即 。

性質

廣義連續統假設是指： 若一個無限集A的基數在另一個無限集S與其冪集2^S之間，則A的基數必定與或其冪集2^S相同。CH與GCH都獨立於ZFC，不過Sierpiński證明了ZF+GCH可以推導出選擇公理，換句話說，不存在ZF+GCH但AC不成立的公設系統。

任何的無限集合A和B，假如存在一個由A到B的單射，那就存在一個由A的子集到B的子集的單射。因此對於任何有限的序數A和B， 。

假如A和B是有限集合，那我們可以得到更強的不等式：。

GCH意味著這個嚴格的不等式對無限序數和有限序數都成立。

連續統假設

1874年格奧爾格·康托爾猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。它又被稱為希爾伯特第一問題，在1900年第二屆國際數學家大會上，大衛·希爾伯特把康托爾的連續統假設列入20世紀有待解決的23個重要數學問題之首。1938年哥德爾證明了連續統假設和世界公認的ZFC公理系統不矛盾。1963年美國數學家保羅·寇恩證明連續假設和ZFC公理系統是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在ZFC公理系統內證明其正確性與否。