基本介紹
- 中文名：初始序數
- 外文名：initial ordinals number
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一類重要的序數
- 定義：序數不與任何小於其的係數等勢
概念,集合論,序數,等勢,基數,
概念
初始序數(initial ordinals number)是一類重要的序數。若序數α不與任何序數β<α等勢，則α稱為初始序數。初始序數被定義為基數。0，1，2，…，n，…，ω等都是初始序數。而ω+1，ω+n，ω·2等則不是初始序數。
集合論
德國數學家康託兒於19世紀末創立的，以集合為研究對象的一個數學基本分支.集合論的內容幾乎滲透到數學的一切領域，它在現代數學的發展中起了很大的作用，是現代數學各個分支的基礎.按照現代數學的觀點，數學各個分支都可以看作是研究具有某種特定結構的集合.例如，中學數學中幾何學可以看成是研究點的集合;代數學可以看成是研究數的集合以及這些集合的運算規律等.
集合論的發展可以分為兩個階段：
樸素集合論這個階段是從康託兒創立集合論開始到1908年.1874年康託兒擺脫了“數”的限制，首次提出具有一般化的集合概念.在集合概念的基礎上，定義了集合的子集、冪集、並集、交集、直積、以及集合到集合的映射等一系列概念.後來為了解決刻畫無限集合元素的多少和集合中元素間可能出現的順序等問題，康託兒又分別引出了集合的勢(集合的基數)和序數的概念(參閱“集合的基數”和“序數”).
公理集合論1900年前後，由於集合論本身出現了悖論(參閱“羅素悖論”)，說明了樸素集合論本身的不協調，當時人們認為是敲響了這門學科的喪鐘，並對數學推理的正確性產生了懷疑，而被稱為數學史上的第三次危機.為了克服悖論給集合論帶來的困難，當時有蔡梅羅、弗倫克爾等一些數學家致力於研究產生這些悖論的原因和解決問題的辦法，因而有公理化方案的提出，產生了多種集合論公理系統.各種公理化集合論都只是樸素集合論的嚴格處理而已.
序數
序數是集合論基本概念之一。是“第一”、“第二”等表示次序的數在概念上的推廣。康托爾原來把序數定義為良序集a的序型ā，作為所有與a序同構的集的共同特徵，即與a序同構的良序集的等價類。後來人們發現對於任何非空良序集，即使最簡單的單元集{∅}，與它序同構的所有良序集事實上並不構成一個集，因此原來的定義是不夠理想的。第一個滿意的陳述是1923年由馮·諾伊曼提供的，他把序數定義為滿足下述條件的良序集α：由α的任一元素β所決定的初始截段，即集α中所有小於β的元素所成之集，總與β相等。例如集合6，它由0、1、2、3、4、5這6個元素所構成，以通常的大小為次序，顯然6是一個良序集;在其中任取一個元素例如3，由3所決定的初始截段是{0，1，2}，這個集合就是3。所有集合6中的其他元素也都具有這樣的性質，因此集合6是一個序數。上述討論完全適用於任何一個自然數，所以每一個自然數都是序數。1937年羅賓遜給出了序數的另一等價定義。如今這樣的定義已不下四種，它們分別用不同的方式，表述序數的本質屬性。序數可分為三類：第一類只含有一個序數0;第二類是後繼序數，它包含一切具有最大元素的序數;第三類稱為極限序數，它包含一切沒有最大元素的非0序數。任何良序集必同構於一個唯一的序數，稱為該良序集的序數。具有相同序數的兩個良序集必相互序同構，因此序數可以看成所有序同構的良序集的代表。
等勢
設在集合x到集合y上存在一個雙射，由偶(x，y)所定義的二元關係是集合間的等價關係，稱為等勢。 (這不是在一個集合中的等價關係，因為不存在以所有集合為其元素的集合。)
集合間的一種重要關係。如果兩個集合a、b之間存在一一對應關係，就稱a與b是等勢的，用A～B表示。等勢關係是一個等價關係，即它滿足：(1)自反性：對於任何集a，a等勢於a；(2)對稱性：對於任何集a、b，若a等勢於b，則b等勢於a；(3)傳遞性：對於任何集a、b、c，若a等勢於b，b等勢於c，則a等勢於c。
基數
亦稱勢。集合論的基本概念之一.。是集合中所含元素個數的一種表征，是日常用以表示事物多少的數(即自然數)的概念的推廣和發展。
基數概念是由康托爾(Cantor，G.F.P.)首先提出的。他認為集合A的基數是一切與A有等勢關係的集都具有的共同特徵，是對A的元素進行屬性及次序雙重抽象之後的結果，所以用A=表示(現在較多用|A|表示)。弗雷格(Frege，(F.L.)G.)與羅素(Russell，B.A.W.)分別在1884年與1902年把A=定義為所有與A等勢的集合所成之集，即A=={B|B～A}。這個定義雖然形式上簡單明了，而且滿足康托爾的原意.但是一般地說不能再認為{B|B～A}是集合(而是一個真類)。因為由{B|B～A}是一個集合可以推出悖論。1928年，馮·諾伊曼(von Neumann，J.) 建議用一個特殊的與A等勢的集，即所有與A等勢的序數中最小的一個作為A的基數。嚴格定義如下：若α是一序數，對於任何序數β，若α～β，則α≤β.這樣的序數α稱為初始序數或基數。根據選擇公理，可以證明對於任何集合A，使A～α的基數α是惟一存在的。這個α稱為集合A的基數.記為A=或|A|。馮·諾伊曼的定義與弗雷格和羅素定義的區別在於它不是取整個等價類{B|B～A}作為A的基數，而是取{B|B～A}中的一個特殊元素，即{B|B～A}中的一個(它是具有良好性質的集合)作為A的基數。這樣就避免了原有定義中引入真類這一邏輯困難。根據等價類中的元素與等價類之間的確定關係，又保留了康托爾的原意.因此，在現代公理集合論中普遍採用這一定義.兩個集合A與B具有相同基數，若且唯若A～B.所有基數組成的類記為card。每個自然數都是初始序數.所以自然數都是基數。以自然數為基數的集合稱為有限集，否則稱為無限集。無窮集合的基數用希伯來字母表示，讀作阿列夫(Aleph)。把基數類card中的所有基數從小到大排成良序為0，1，2，…，0，1，2，…，α，α+1，…這裡0是自然數集合的基數。當α是極限序數時，α=ωα=sup{ωβ|β<α}；當α不是極限序數時，α是一個後繼基數。在廣義連續統假設下，α=2。
基數有下列性質：
1.對任何基數α，存在基數β，使得α<β。
2.若Xcard，則sup(X)是一基數。
3.對任何兩個基數α與β，關係α<β，α=β，α>β有且僅有一個成立，稱為基數的三歧性。
4.如果|A|≤|B|，|B|≤|A|，則|A|=|B|。
5.對任何集合A，都有|P(A)|=2，其中P(A)是A的冪集。
