實閉域

實閉域是一類重要的實域。設F是一個實域，若F的任何真代數擴張都不再是實域，則稱F是實閉的，或者F是一個實閉域。

基本介紹

• 中文名：實閉域
• 外文名：real closed field
• 學科：數理科學
• 類型：實域
• 別名：塔爾斯基原則(或定理)

定義

實閉域的例子很多，最常見的是：實數域R；由所有實代數數所成的域R_Alg。實閉域只有惟一的序>，它由a>0若且唯若a=b所確定，換言之，它的惟一的正錐是由所有平方元所組成。在實閉域上，任何一元多項式都能表為一次與二次不可約因式之積。實閉域與代數閉域間的緊密關係，可以從下面的事實認知：設Ω是一個代數閉域，F是它的真子域。若Ω/F是有限擴張，則F是實閉域，並且有Ω=F()。實閉域還有一個重要性質：任何一條初等的代數命題，若在某一個實閉域上成立，則必然在所有的實閉域上成立。這個結論被稱為塔爾斯基(Tarski，A.)原則(或定理)。根據這個原則，凡在實數域R上成立的初等代數命題，在任何實閉域上也成立。

形式實域

假設所論之域的特徵數皆為零。若在一個域 中， 無法寫成平方和（表法： ），則稱 是形式實的。

每個有序域都是形式實域；形式實的定義本身不涉及序結構，但藉由實閉包的存在性可證明每個形式實域皆帶序結構。

實封閉域

一個實封閉域 若滿足下列等價條件，則稱之實封閉域：

上存在一個序結構，使得其中每個正元素皆可表為平方，且任何奇數次多項式都有根。

上存在一個序結構，使之滿足中間值定理。

對任意 ，或者 或者 ；且任何奇數次多項式都有根。

非代數封閉，而 代數封閉。

若 ， 是形式實的，則 。

我們可以純以代數性質定義實封閉域，並由 得到唯一的序結構。

實閉包

對任何形式實域 ，都存在代數擴張 ，使得 是實封閉的。我們稱 是 的一個實閉包。實閉包並不唯一。

若在 上固定一個序結構，並要求 的序結構與之相容；則此時實閉包 存在並唯一，且 。

例子

實數域

；它是 的實閉包。

可計算數

Puiseux級數

模型論觀點

實封閉域的研究首先由數學家展開，隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言 ，設 為實封閉域（帶序結構）的 一階理論，塔斯基證明了 上有量詞消去；因此任兩個 的模型都是初等等價的。一方面，我們可運用 上的特有工具（微積分、拓撲等等）證明一般實封閉域上的一階句子；另一方面，則可透過適當的域擴張解決 上的問題，後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。

如果改採形式語言 ，並取實封閉域的代數定義 ，此時則無法消去量詞（在 中考慮公式 ）。

設 是實封閉域，換言之 ，根據 上的量詞消去， 上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的並集。此性質稱作O-極小性，它較量詞消去為弱，卻是研究 上可定義集的幾何構造之關鍵。

量詞消去也蘊含 的可判定性，然而塔斯基給出的算法其複雜度過高，並不實用。

若承認廣義連續統假設，則可進一步以超積描述實封閉域的性狀。