廣義線性系統

線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。

廣義系統又稱為奇異系統，廣義狀態空間系統，微分代數系統等。廣義系統是客觀系統的一種自然表示，它可用來描述系統的更多性能特徵，已經在大系統、奇異攝動理論、電路理論、經濟學理論等方面得到廣泛的套用。

所以，廣義線性系統就是線性的廣義系統。

基本介紹

• 中文名：廣義線性系統
• 外文名：Singular linear system
• 問題：觀測器的存在條件等
• 類別：控制科學與工程
• 基礎：廣義系統和線性系統
• 數學表達：轉移矩陣和狀態空間

基本概念

線性系統

線性系統是指同時滿足疊加性與均勻性（又稱為其次性）的系統。所謂疊加性是指當幾個輸入信號共同作用於系統時，總的輸出等於每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；均勻性是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。對於線性連續控制系統，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統即為非線性系統 。

由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常套用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

廣義系統

廣義系統又稱為奇異系統，廣義狀態空間系統，微分代數系統等。廣義系統是客觀系統的一種自然表示，它可用來描述系統的更多性能特徵，已經在大系統、奇異攝動理論、電路理論、經濟學理論等方面得到廣泛的套用。另外，廣義系統也可作為一種處理問題的方法，這在當前處於如火如茶研究狀態中的時滯系統文獻中可見一斑。由於這些原因，廣義系統越來越受到學者的關注。

研究背景及發展現狀

廣義系統又稱奇異系統，相對於正常系統來說，其形式更加廣泛。它是20世紀70年代形成並發展起來的，RosenbrockH.H教授第一次在國際控制領域的雜誌International Journal of Control中提出了廣義系統這一概念，並且研究了廣義系統的解耦零點和受限等價變換等問題。隨後不久，LuenbergerD.G.教授分別在控制領域頂級雜誌IEEE和Automatica上對廣義系統的解的存在性與唯一性進行了全面而詳細的討論。從此以後，世界各地的控制學者開始了在這個新的研究領域的探索與追求。

自從進入了20世紀80年代以來，很多學者包括研究控制理論的數學家和工程人員對廣義系統的研究和設計產生了濃厚的興趣。自此，廣義系統理論的研究進入了一個蓬勃的發展時期。從20世紀80年代初到末，這將近10年來，廣義系統的發展取得了比較豐碩的成果。如:提出了廣義系統的能控性，能觀性對偶原理，觀測器的設計等問題。綜合上述一系列研究成果，在1989年出版了廣義系統理論的第一本著作，標誌著廣義系統的基礎理論己經形成，又將進入下一個全新的發展階段。

從20世紀90年代初至今，廣義系統理論的研究己經一步步從基礎走向深奧，從線性系統走到非線性系統，從連續系統走到離散系統，從確定性系統走到不確定性系統，從無時滯系統到時滯系統，逐漸積累了豐富的理論成果，發展成為了現代控制理論中不可分割的一部分。

廣義系統的數學表達方式分為以下兩種：一種是轉移矩陣的表達方式，另一種是狀態空間的表達方式。轉移矩陣只能描述系統的輸入輸出特性，而狀態空間的表達方式能進一步觀察到系統的結構特性。狀態空間模型，主要是從狀態空間不變理論中得到的，通過變數間的物理關係或一些模型的辨識技巧可以建立出一系列等式。

研究方法

廣義系統理論廣泛套用在現代控制理論中，有很多學者對其展開研究，到目前為止，主要研究方法有幾何方法、多變數頻域法和狀態空間法幾何方法表述簡潔明了，簡化了數學計算並有效減小誤差，但涉及到矩陣範數或非線性最佳化問題時，幾何方法難於發揮其作用；多變數頻域法則是用頻率域上的計算方法研究廣義系統，隨著頻率域上的許多設計方法不斷更新完善，這種方法在控制系統中也越來越發揮著重要作用;狀態空間法簡潔的描述了問題，能揭示系統的內部結構，並可設計相應的軟體用計算機輔助計算，極大簡化求解過程，因此該方法廣泛套用於廣義系統的研究中，其中最具有代表性的是Riccati方法和LMI(線性矩陣不等式)。

廣義系統理論不斷完善、日趨成熟，其套用己經滲入到航空航天、能源、石油、化工和通訊等諸多領域，這使得這個熱門研究課題深受許多青年學者的青睞，隨著科技的不斷進步，對於控制系統性能的要求越來越嚴格，廣義系統眾多性能將會持續的被挖掘。

與正常系統的聯繫與區別

它們主要的區別可以歸結為以下幾點：

1)正常系統的動態階等於系統的維數，而廣義系統的動態階僅僅為q = rank[E]。

2)正常系統的傳遞函式為真有理分式矩陣，而廣義系統的傳遞函式還包含多項式部分。

3)正常系統的齊次初值問題的解的存在且惟一。但對於廣義系統，齊次初值問題是不相容的，即可能不存在解，即使有解，也不一定惟一。

4)廣義系統具有層次性，一層為對象的動態特性(由微分或差分方程描述)，另一層為管理特徵的靜態特性(由代數方程描述)，而正常系統沒有靜態特性。

5)廣義系統的極點，除了有r= deg det(sE-A)個有窮極點外，還有正常系統不具有的(n-r)個無窮極點，在這些無窮極點中又分為動態無窮極點和靜態無窮極點。

6)在系統的結構參數擾動下，廣義系統通常不再具有結構穩定性。

和正常系統一樣，對於廣義系統，我們也討論它的分析問題：即運動行為和結構特性，包括:狀態空間描述，能控性，能觀性，穩定性以及綜合問題：即對於一個受控的廣義系統，通過一定的控制手段使其滿足預定的目標，包括：反饋控制，狀態觀測器與動態補償器等。

存在的問題

現在廣義線性系統的研究基本上形成了一個較完整的體系，但還是存在許多問題，這也是研究的目標和方向。

1)正則廣義系統的能控能觀性已經研究得比較完善。由於非正則系統的複雜性，能控能觀的概念多種多樣。一方面有必要澄清這些概念的關係，另一方面應該建立更為深刻的概念。

2)正則系統的脈衝模及脈衝消除研究得比較完善，但是現在文獻可脈衝消除的很多條件都不是由原始系統矩陣給出的，而且有些給出的條件閉環系統具有最大動態階。通過原始矩陣給出不附加額外要求的可脈衝消除的判據並提出數值穩定的脈衝消除控制器的設計方法應該是一個很有意義的研究方向。

3)非方系統的脈衝模消除的基於原始系統給出的條件及脈衝模消除控制律的設計方法。
4)設計既消除系統脈衝又最小化初始跳躍的控制律是一個很有意義的研究方向，值得深入研究。

5)廣義線性系統的觀測器的存在條件和與可檢性的關係值得進一步深入研究。
6)廣義系統的故障檢測研究還很少，可以作為未來的研究方向。輸入函式觀測器可以作為故障檢測的方法。輸入函式觀測器的概念雖然早在20世紀80年代就提出，但是很長一段內很少人研究。相信對這個問題的深入研究會對廣義系統注入新的活力。