康托爾，G.F.P.

康托爾，G.F.P.，數學家，集合論的創始者。

基本介紹

• 中文名：康托爾，G.F.P.
• 出生地：聖彼得堡（今列寧格勒）
• 畢業院校：瑞士蘇黎世大學
• 職業：數學家

人物生平

他生於聖彼得堡（今列寧格勒）一個遷居俄國的丹麥商人家庭，11歲時移居德國，在德國上中學；1862年入瑞士蘇黎世大學，翌年轉入德國柏林大學，主修數學；1866年秋曾去哥丁根學習一學期；1867年獲博士學位；1869年在哈勒大學通過講師考試，後即在該校任講師，1879年任教授；73歲時病逝於哈勒。康托爾在大學學習期間主要對數論感興趣，同時也受了德國數學家K.魏爾施特拉斯的影響。他於1870～1872年連續發表關於三角級數的3篇論文。1872年的論文開始把“基本級數”即柯西序列引入無理數理論，並初步提出以高階導出集的性質作為無窮集合的分類準則。他對函式論的研究，引起他進一步探索無窮集和超窮序數的興趣和要求。1872年康托爾在瑞士旅行時結識德國數學家R.戴德金德，此後他們時常往來並通信討論數學和邏輯問題。1873年他推測到正有理數與正整數可以有一一對應，但正實數似乎沒有。

主要貢獻

1874年他發表的《關於一切代數實數的一個性質》的論文證明：一切代數實數和正整數有一一對應；正實數和正整數無一一對應。他還指出，這一結果也證明了超越數是存在的。1874年他開始考慮面上的點集和線上的點集有無一一對應的問題。經過3年多的探索，於1877年證明了n維形體的點和線上的點有一一對應。這一結果似乎抹殺了維度的區別，因而引起了很大的爭議。戴德金德早在1877年7月和康托爾的通信中就推測到，不同維度空間的點只能有不連續的一一對應，而不能有連續一一對應。此問題直至1910年才由L.E.J.布勞維爾得到證明。康托爾還於1878年明確提出“勢”的概念，並以“與自身的真部分有一一對應”作為無窮集的特徵。康托爾創建集合論的工作把數的概念從有窮數擴充到無窮數。他在1879～1884年間發表了6篇題為《關於無窮線性點集》的論文，從中提出良序集、序數及數類的概念。他從正整數出發，套用良序集理論和3個構成原則，定義了無窮序列的、一個比一個大的超窮序數和超窮基數，並對無窮問題作了不少的哲學討論，為集合論奠定了基礎。他還提出了良序定理，即每一集合都能被良序，並認為這是一個特別值得注意的定理，但他未給出證明。1891年，他在《集合論的一個根本問題》這一論文裡證明了：一集合的冪集的勢較原集合的勢為大，因而沒有包括一切集合的集合，這就是所謂的康托爾定理。對連續統假設，他雖在1878年發表的一篇論文的結尾處曾提及，但卻始終未能給出嚴格的證明。19世紀70年代許多數學家還是潛無窮論者，康托爾集合論卻肯定了作為完成整體的實無窮，因而遭到了一些數學家和哲學家的批評與攻擊。但是，康托爾創建集合論的工作也得到戴德金德、魏爾斯特拉斯、D.希爾伯特等人的鼓勵和讚揚。20世紀以來，集合論不斷發展，已成為數學的重要基礎理論。康托爾已刊行的著作有:《康托爾全集》(1卷，1932)和《康托爾-戴德金德通信集》(1937)等等。