基本介紹
- 中文名：奇異基數
- 外文名：singular cardinal number
- 領域：數學
- 學科：公理集合論
- 性質：無窮基數
- 相關概念：正則基數
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概念
奇異基數(singular cardinal number)是一種無窮基數。無窮基數可按共尾度的性質分成兩大類：正則基數和奇異基數。若cf(ωα)<ωα，則無窮基數α稱為奇異的；若cf(ωα)=ωα，則α稱為正則的。即對無窮基數κ，若存在遞增的超窮序列〈αυ|υ<θ〉，其中αυ是序數且αυ<κ，該序列的長度θ是小於κ的極限序數，使得：
則κ稱為奇異基數。不是奇異的無窮基數稱為正則基數。所有後繼基數都是正則基數，奇異基數都是極限基數，例如：ω， ω+ω，ω1等都是奇異基數。存在任意大的奇異基數，如α+ω。
基數
基數亦稱勢。公理集合論的基本概念之一。是度量集合大小的量。在德國數學家康托爾(Cantor，G.(F.P.))之前，無窮只是一個很模糊的概念，人們無法區分兩個無窮集的大小。1873年，康托爾發現自然數集與實數集之間不存在一一對應的關係，由此意識到可以用一一對應作為度量無窮集合大小的尺度。他把集合的大小稱為集合的勢，記為x‘’，x為一集合。並且他定義，若集合A與集合B之間可建立一一對應關係，則稱A與B等勢，記為A≈B。然而康托爾對勢沒有作非常嚴格的定義，而將集合的勢定義為從集合中抽去元素特性及順序特性得出的一般概念。德國數學家、數理邏輯學家弗雷格(Frege，(F.L.)G.)與英國數理邏輯學家羅素(Russell，B.A.W.)將集合的基數(勢)定義為在等勢關係下該集合所在的等價類。這一定義雖然比較嚴格，但這樣定義的基數不是ZF公理集合論中集合的基數。在ZF公理集合論中，按如下方法定義集合x的基數|x|：
1.若x是可良序化的，則定義|x|為最小的與x等勢的序數。
2.若不然，則定義|x|為與x等勢的真類中所有具有最小秩的元素的全體所組成的集合。
如果某個集合的基數是a，則如此定義的基數滿足|x|=|y|，若且唯若x≈y。定義1是由美籍匈牙利數學家馮·諾伊曼(von Neumann，J.)於1928年引入的；定義2則是上述弗雷格與羅素思想的翻版。如果存在從集合x到y的單射，則定義|x|≤|y|。如果|x|≤|y|且|y|≤|x|，則|x|=|y|。這就是著名的康托爾-伯恩施坦定理.對於任意的集合x和y，有|x|≤|y|或者|y|≤|x|，若且唯若選擇公理成立。可良序化的集合的基數稱為良序基數。每一個良序基數都是序數。因此，若設定某一選擇公理，則每一個基數都是序數。對任意的序數α，存在大於α的最小良序基數，記為α。由此可見，所有的良序基數構成序數全域的一個無界的子類，即為真類。因此，可以定義一個從序數全域到所有無窮良序基數構成的真類上的保序映射
，使得ᗄα<β((α)<(β))，式中讀做“阿列夫”。還常用α代替(α)，表示第α個無窮良序基數，用ωα表示α的序型，故0=ω0=ω，α+1=ωα+1=α。若α為極限序數，則α=ωα=sup{ωρ|ρ∈α}。α是極限基數，若且唯若α是極限序數。
不可數基數
不可數基數是一種無窮基數。不可數集的基數統稱為不可數基數。一個無窮集合，如果不與自然數集等勢，它就具有不可數基數。例如實數集R的基數、R的冪集P(R)的基數都是不可數基數。不可數基數有無窮多個等級。因為根據著名的康托爾定理：對任何基數a，a<2，故可得：
正則基數
一種特殊基數。如果α為極限序數，且cf(α)=α，則稱α為正則的。正則的基數稱為正則基數。不正則的無窮基數稱為奇異基數。由於正則的序數一定是基數，故人們對正則的序數、正則序數、正則的基數和正則基數這幾個概念不加區別地使用。通常也有人將ω稱為正則基數，將α+1稱為正則序數。正則性是基數的重要概念之一，它由德國數學家豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1908年引入。關於正則基數的性質曾引申出許多重要的集合論命題，其中最重要的問題是：是否能在ZF系統中證明存在大於ω的正則基數?一方面，由選擇公理知，1，2，…，α+1都是大於ω的正則基數。另一方面，以色列集合論學家吉帖克(Gitik，M.)於1979年在假定存在某種大基數真類的情況下，證明了不存在大於ω的正則基數，也是和ZF系統相容的。
公理集合論
數理邏輯的主要分支之一，是用公理化方法處理樸素集合論的內容的理論，更重要的，是研究集合論的元數學性質——集合論的模型、各公理的關係、各系統之間的關係、各種不可判定語句以及集合論公理化過程中所提出的種種新方法和新問題的理論。
1908年，策梅羅提出了第一個集合論公理系統，旨在避免集合論中的悖論。20世紀20年代，弗倫克爾和斯科朗加以改進和補充，得到常用的策梅羅一弗倫克爾公理系統，簡記為ZF。這是一個建立在有等詞和屬於關係的一階謂詞演算之上的形式系統。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、替換公理模式、正則公理。如果另加選擇公理(AC)，則所得到的公理系統簡記為ZFC。
已經證明，ZF對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集合論悖論，並在數學基礎研究中提供一種方便的語言和工具。在ZF中，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言來表達。數學定理也大都可以在ZFC系統內得到形式證明。因而作為整個數學的基礎，ZFC是完備的。數學的無矛盾性可歸結為ZFC的無矛盾性。
由哥德爾的不完全性定理可知，如果ZF是無矛盾的，則在ZF中不能證明自身的無矛盾性。所以，在公理集合論中只考慮相對無矛盾性問題，解決的方法是構造模型，常用的三種方法是：內模型法，外模型法(力迫方法)，對稱模型法。1938年，哥德爾證明了CH對於ZFC的相對無矛盾性，用的就是內模型法。1963年，科恩創立外模型法，證明了CH相對於ZF的獨立性。
公理集合論的一個研究領域是由樸素集合論中對無限組合問題的研究發展而來的組合集合論。另一個研究領域是描述集合論(解析理論)，主要探討劃分層次(級)後的實數子集的結構性質問題。在研究這兩個領域的許多問題時，都要用到ZF(或ZFC)以外的附加假設(公理)才能判定。常用的附加假設有：可構成公理，各種大基數公理以及與AC不相容的決定性公理等。
1938年，哥德爾提出了可構成公理，20世紀60—70年代，這一公理得到重視和發展。大基數公理雖然早已提出(在ZF+大基數公理(即“存在一大基數”)的公理系統中，可以證明ZF是無矛盾的)，但直到20世紀60年代以後才作為公理集合論某一領域的附加假設使用。幾乎每一種大基數都是ω的某種性質向不可數基數的推廣。可構成性、大基數和力迫方法(外模型法)已成為當代公理集合論研究的三大主流，它們又是三種重要的工具。隨著無限對策的產生和對策論在數學各分支中的滲透，決定性公理也日益受到重視。
