緊基數(compact cardinal number)亦稱強緊基數，是一種大基數。一個不可數正則基數κ是緊的，如果對任何集合S，S上的每一個κ完全的濾子都擴充成S上的κ完全的超濾，每個緊基數κ都是可測的。但反之不然，即不是每個可測基數必須是緊的，故緊基數強於可測基數。
基本介紹
- 中文名：緊基數
- 外文名：compact cardinal number
- 別名：強緊基數
- 所屬學科：數學（公理集合論）
- 簡介：一種大基數
基本介紹,相關定義及定理,
基本介紹
強緊基數是一類很“大”的大基數，若對於任何無窮基數λ，語言Lκκ都是(λ，κ)緊的，且
，則稱基數κ是強緊基數，語言Lωω是(λ，ω)緊的，這兒λ是任意無窮基數，因而，強緊基數也是對無窮基數ω的某些性質進行推廣而得到的，開斯勒(H.J.Keisler)和波蘭學者塔爾斯基(A.Tarski)於1964年引入強緊基數的概念。
強緊基數必是可測基數，因而也必是弱緊基數，福平卡-赫巴契克於1966年證明了：若存在強緊基數，則對任何集合X，V≠L[X]，這裡V是全集，L[X]是相對於X的可構造集，或說是從X出發的可構造集，以色列學者索洛韋(R.M.Solovay)於1974年用力迫法證明了：若κ是強緊基數，對於每個>κ的奇異強極限基數λ，有2=λ，亦即對於一些很特殊的、很大的基數，證明了廣義連續統假設是成立的。
相關定義及定理
設κ，λ為基數，
，令
設U是Pκ(λ)上的濾子，若對每一個
，則稱U是精細的(Fine)。
定義1 設κ為正則不可數基數， 為任意基數，稱κ為λ-強緊的充要條件為在Pκλ上存在非主的、精細的、κ-完全的超濾(或Pκλ上存在精細的測度)。
κ稱為強緊的充要條件為對所有 ，κ是λ-強緊的。
定義2 設κ為正則不可數基數， 為任意基數，
(或
)為無窮語言，若對任意語句集Φ，|Φ|=λ，當
時，Φ’都有模型，則Φ有模型，那么稱 有(κ，λ)強緊性定理，稱 是強緊的，若對所有 ， 有(κ，λ)-強緊性定理。
下列定理說明強緊來源於無窮語言的(κ，λ)一強緊性定理。
下面定理的證明請參考相應書籍。
定理3 設κ是正則基數，則下列命題等價：
[1]對任意S，S上每一個κ-完全超子可擴充成S上的超濾；
[2]對任何
上存在精細的測度；
[3]無窮語言 滿足強緊性定理。
定理4 若κ≤λ，則下列命題等價：
[1]κ是λ-強緊的．
[2]存在初等嵌入
，以κ為臨界點，使得當
時，有
，滿足
，
[3]若F是集合S上的任一κ-完全的濾子，它由基數≤λ的集所生成，則F可擴充的S上的κ-完全超濾。
推論5 強緊基數是可測基數。
定理6 (沃列克-赫貝西(Vopenka-Hrbacek)若存在強緊基數，則對任何
。
定理7 若λ為正則基數，，κ是λ-強緊基數，則
。
定理8 若存在強緊基數，則在該基數以上的奇異基數，其奇異基數假定都成立(即若κ為強緊基數，λ>κ為奇異基數，則當
時有
)。
推論9 若κ是強緊基數，
為奇異強極限基數，則2=λ。
下面給出可測基數與強緊基數之間關係的一個性質．
定理10(梅勞斯(Menas))若κ是可測基數，並且它是強緊基數的極限，則κ是強緊基數。
定義11 設κ為正則基數，，函式t，使得
，則稱t為生長在Pκλ的元素P上的二元函式。
設M是滿足下列性質的函式族：
[1]若
，則t生長在Pκλ元素上，
[2]若
，則
，
[3]
(t生長在P上)，
則稱M為二元(κ，λ)-網(Mess)(簡稱網)。
如果存在函式
，使得對每一個
↑
，則稱f為M的解(Solution)，這時M也稱為可解的。
定理12 設κ是不可及基數，，，則κ是λ-強緊的充要條件為每一個二元(κ，λ)-網可解。
