可定義PWR和WFR的秩

《可定義PWR和WFR的秩》是依託北京師範大學，由施翔暉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：可定義PWR和WFR的秩
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：施翔暉
• 項目類別：面上項目

項目摘要

本課題的任務是對可定義點集類上PWO和WFR的秩進行比較，期望達到兩個目的：.1. 確定準良序秩與良基秩相等與否在各可定義點集類上的分布情況；.2. 給出準良序秩與良基秩相等的充要條件。.這些目標的完成不僅可以揭示PWO和WFR在秩上的差別，還將加深理解點集類定義的複雜度對其上PWO和WFR的結構性質的影響。

結題摘要

本項目的目標是研究可定義集合和PWO與WFR的秩的概念。原計畫是探索可定義集合的複雜度與相應不變數之間的聯繫。 在過去四年中，在自然科學基金面上項目（編號：11171031）在資助下，我們在集合論和遞歸論兩個領域做了如下的工作並取得一些成績。 在集合論里，項目負責人引入了在奇異基數（尤其是可數共尾度的）上的推廣的高階的度的概念，開闢了了一個聯接經典度論里最核心的度的概念和集合論中的大基數概念的新的研究領域。研究成果的主題，大基數越強，那么其相應的標準內模型里某些特定奇異基數上的廣義度的度結構就越複雜。這方面更多的細節可以在發表在 JSL 上的文章Axiom I_0 and higher degree theory，和第十三屆亞洲邏輯會議會議文集中的文章， Large cardinals and higher degree theory，中找到。 在遞歸論方面，參與該項目的第二研究人，國立新加坡大學（NUS）的楊躍教授在此期間發表了三篇文章。一篇是與莊志達和李瑋合作的，名為Nonstandard models in recursion theory and reverse mathematics，該文總結了最前沿的非標準模型方法在遞歸論和反推數學中的套用。第二篇是他與莊和Slaman合作的，名為The metamathematics of stable Ramsey's theorem on pairs，該文給著名的關於無序對的拉姆塞定理給了完美的解答。該文發表在數學界最好的雜誌JMAS上。他最新的工作是與Downey和吳國華合作的，名為The member of thin and minimal \Pi^0_1 classes, their ranks and Turing degrees，該文發表在邏輯雜誌APAL上。 雖然兩位研究人員做的工作表面上看是在不相干的數理邏輯的兩個領域，但這些結果都與可定義集合的複雜度密切相連，這與該面上項目原計畫背後的主題的完全統一的。 我們的工作得到了國際同行的廣泛關注。兩位研究人員多次被邀在重要的國際會議上給特邀報告。這期間，項目負責人有三名碩士研究生（目前在研），第二參與人有兩名博士生（已畢業，在從事博士後研究）。