平面向量數量積

已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積。記作a·b。兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2

基本介紹

• 中文名：平面向量數量積
• 外文名：Scalar product of plane vector
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：幾何學

數量積的性質

設a、b為非零向量，則

①設e是單位向量，且e與a的夾角為θ，則e·a=a·e=|a||e|cosθ

②a⊥b=a·b=0

③當a與b同向時，a·b=|a||b|；當a與b反向時，a·b=-|a||b| ；a·a=|a|²=a²或|a|=√a·a

④|a·b|≤|a|·|b|，若且唯若a與b共線時，即a∥b時等號成立

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ為向量a.b的夾角）

⑥零向量與任意向量的數量積為0。

向量數量積的運算律

⑴交換律：a·b=b·a

⑵數乘結合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）

⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c

平面向量數量積的幾何意義

①一個向量在另一個向量方向上的投影

設θ是a、b的夾角，則|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

②a·b的幾何意義

數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積

★注意：投影和兩向量的數量積都是數量，不是向量。

③數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。