常數函式

常數函式是基本初等函式之一。

在數學中，常數函式（也稱常值函式）是指值不發生改變（即是常數）的函式。

基本介紹

• 中文名：常數函式
• 外文名：constant function
• 套用學科：數學
• 別稱：常值函式
• 定義：是指值不發生改變的函式
• 相關術語：基本初等函式

定義

在數學中，常數函式（也稱常值函式）是指值不發生改變（即是常數）的函式。例如，我們有函式f(x)=4，因為f映射任意的值到4，因此f是一個常數。更一般地，對一個函式f: A→B，如果對A內所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一個常數函式。

請注意，每一個空函式（定義域為空集的函式）無意義地滿足上述定義，因為A中沒有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人認為，如果包括空函式的話，那么常數函式將更容易定義。

對於多項式函式，一個非零常數函式稱為一個零次多項式。

性質

常數函式可以通過與複合函式的關係，從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的：

f: A→B是一個常數函式。 對所有函式g, h: C→A, fog=foh（“o”表示複合函式）。 f與其他任何函式的複合仍是一個常數函式。 上面所給的常數函式的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函式的導函式度量自變數的變化與函式變化的關係。那么我們可以得到，由於常數函式的值是不變的，它的導函式是零。

例如：

如果f是一個定義在某一區間、變數為實數的實數函式，那么若且唯若f的導函式恆為零時，f是常數。 對預序集合間的函式，常數函式是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定義域是一個格，那么f一定是一個常數函式。

常數函式的其他性質包括：

任一定義域和陪域相同的常數函式是等冪的。 任一拓撲空間上的常數是連續的。 在一個連通集合中，若且唯若f是常數時，它是局部常數。

相關函式

在數學領域，兩個函式的複合函式指一個將第一個函式作用於參數，然後再將第二個函式作用於所得結果的函式。

具體來說，給定兩個函式f:X→Y和g:Y→Z，其中f的陪域等於g的定義域（稱為f、g可複合），則其複合函式，記為g∘f，以X為定義域，Z為陪域，並將任意x∈X映射為g(f(x))。有時也省略複合記號“∘”，直接寫作gf。

g∘f中的“∘”稱作ring運運算元。

函式的複合滿足結合律：若f、g可複合，g、h可複合，則有：

• h∘ (g∘f)=(h∘g) ∘f
  

函式的複合可以看作是二元關係複合的一個特例。