基本介紹
- 中文名：對角線論法
- 外文名：Contradiction
- 類型：方法
- 隸屬：數學
- 又稱：反證法
- 定義：從反方向證明的證明方法
簡介,原理,適用命題,依據,使用方法,
簡介
“對角線論法”就是“反證法”的別稱，間接論證的一種。先論證與原論題相矛盾的論題即反論題為假，然後根據排中律確定原論題為真。反證法首先假設某命題不成立（即在原命題的題設下，結論不成立），然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說假設不成立，原命題得證。反證法與歸謬法相似，但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果，也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。
原理
對角線論法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。實際的操作過程還用到了另一個原理，即：原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。
若原命題：
先對原命題的結論進行否定，即寫出原命題的否定：p且¬q。
從結論的反面出發，推出矛盾，即命題：p且¬q 為假（即存在矛盾）。
從而該命題的否定為真。
再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p⇒q為真。
誤區：
否命題與命題的否定是兩個不同的概念。
命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論：
原命題：p⇒q；
否命題：¬p⇒¬q；
逆否命題：¬q⇒¬p；
命題的否定：p且¬q。
原命題與否命題的真假性沒有必然聯繫，但原命題和原命題的否定卻是對立的存在，一個為真另一個必然為假。
適用命題
只能用對角線論法證明的命題，有以下幾類：
1、很多已知當中只有兩個元的問題。
由於條件有限，基本上也只能採用反證法。這類問題通常是一個公理體系里只有A、B兩項，由已知命題推未知命題的真假。
由於這些定理可使用的證明條件太少，只能用反證法才能證明。而建立在定義、公理與一級定理之上的二級定理，以及在邏輯鏈中更靠後的三級定理、四級定理等等，由於已被證明的定理數目越來越多，因此對於邏輯鏈中更靠後的定理，有更多的證明條件可以使用，常常不必使用反證法就可以得證。而公理本身是不證自明的，它們是數學邏輯體系的起點（基石），這已經是數學知識的底線了。如果你不接受它們，你認同的所有數學命題都不成立。
① 用反證法。即證明如果它是有限的，則會存在矛盾；
② 與另外一個無窮集合建立映射，這時加進來的已知無窮集合作為引理出現。
證明質數有無窮多個，歐幾里得的證明就是反證法。
再如，證明不存在最大的自然數。如果從正面去證明的話，相當於列舉自然數，然而我們在有限的步驟中完成，因此直接證法行不通。於是，利用排中律轉化為：對於所有自然數n，存在一個自然數m，使得m>n。這幾乎是顯然的。
總之，只要承認證明過程中只能在有限的步驟中完成，那么關於無窮的問題，我們也只能利用排中律轉化為有窮來證明。
依據
反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。
反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，於是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。
使用方法
運用反證法證明命題的第一步是：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設，這是正確運用反證法的基礎、前提，正確作出反設,是使用反證法的一大關鍵否則，如果錯誤地“否定結論”，即使推理、論證再好也都會前功盡棄。要想正確的做出反設，必須注意以下幾點：
（1）分清命題的條件與結論,結論與反設間的邏輯關係。
（2）結論的反面常常不止一種情形,則需反設後,分別就各種情況歸謬,做到無一遺漏。
總之，在否定命題的結論之前，首先要弄清命題的結論是什麼，當命題的結論的反面非常明顯並且只有一種情形時是比較容易做出否定的，但命題的結論的反面是多種情形或者比較隱晦時，就不太容易做出否定。這時必須認真分析、仔細推敲，在提出“假設”後，再回過頭來看看“假設”的對立面是否恰是命題的結論。
