反證法

反證法是間接論證的方法之一。亦稱“逆證”。是通過斷定與論題相矛盾的判斷（即反論題）的虛假來確立論題的真實性的論證方法。反證法的論證過程如下：首先提出論題：然後設定反論題，並依據推理規則進行推演，證明反論題的虛假；最後根據排中律，既然反論題為假，原論題便是真的。在進行反證中，只有與論題相矛盾的判斷才能作為反論題，論題的反對判斷是不能作為反論題的，因為具有反對關係的兩個判斷可以同時為假。反證法中的重要環節是確定反論題的虛假，常常要使用歸謬法。反證法是一種有效的解釋方法，特別是在進行正面的直接論證或反駁比較困難時，用反證法會收到更好的效果。

基本介紹

• 中文名：反證法
• 外文名：Contradiction
• 別名：背理法
• 用途：論證方式
• 定義：從反方向證明的證明方法
• 原理：逆否命題和原命題的真假性相同
• 假設：某命題不成立

定義

反證法常稱作Reductio ad absurdum，是拉丁語中的“轉化為不可能”，源自希臘語中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德經常使用它。

反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設而否定結論，經過推理導出矛盾，從而證明原命題。法國數學家阿達瑪（Hadamard）對反證法的實質作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

在套用反證法證題時，一定要用到“反設”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。

反證法在數學中經常運用。當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂"正難則反"。

牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或複雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分乾脆。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定得出矛盾→否定”。即從否定結論開始，得出矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。套用反證法的是：

欲證“若P，則Q”為真命題，從相反結論出發，得出與事實、定理、已知條件、基本事實等矛盾，從而原命題為真命題。

原理

反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。

實際的操作過程還用到了另一個原理，即：

原命題和原命題的否定是對立的存在：原命題為真，則原命題的否定為假；原命題為假，則原命題的否定為真。

若原命題： 為真

先對原命題的結論進行否定，即寫出原命題的否定：p且¬q。

從結論的反面出發，推出矛盾，即命題：p且¬q 為假（即存在矛盾）。

從而該命題的否定為真。

再利用原命題和逆否命題的真假性一致，即原命題：p⇒q為真。

誤區：

否命題與命題的否定是兩個不同的概念。

命題的否定只針對原命題的結論進行否定。而否命題同時否定條件和結論：

原命題：p⇒q；

否命題：¬p⇒¬q；

逆否命題：¬q⇒¬p；

命題的否定：p且¬q。

原命題與否命題的真假性沒有必然聯繫，但原命題和原命題的否定卻是對立的存在，一個為真另一個必然為假。

證明步驟

反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結論，為什麼？這個結論可以用窮舉法證明：

已知某命題：若A，則B，則此命題有4種情況：

1.當A為真，B為真，則A⇒B為真，得¬B⇒¬A為真；

2.當A為真，B為假，則A⇒B為假，得¬B⇒¬A為假；

3.當A為假，B為真，則A⇒B為真，得¬B⇒¬A為真；

4.當A為假，B為假，則A⇒B為真，得¬B⇒¬A為真；

∴一個命題與其逆否命題同真假。

即反證法是正確的。

假設¬B，推出¬A，就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的。

但實際推證的過程中，推出¬A是相當困難的，所以就轉化為了推出與¬A相同效果的內容即可。這個相同效果就是與A（已知條件）矛盾，或是與已知定義、定理、大家都知道的事實等矛盾。

註：關於相等與不等關係（>、=、<），我們有如下的否定形式：

大於反義：小於或等於

都大於 反義：至少有一個不大於

小於 反義：大於或等於

都小於 反義：至少有一個不小於它的逆否命題“若¬B，則¬A”。

適用命題

只能用反證法證明的命題，有以下幾類：

1. 有關純數字劃分的問題很多命題都只能藉助反證法得證。這類問題通常都是直接作為定理或常用推論來使用的，比如根號2是無理數。

2. 很多已知當中只有兩個元的問題。

由於條件有限，基本上也只能採用反證法。這類問題通常是一個公理體系里只有A、B兩項，由已知命題推未知命題的真假。

3. 對許多直接建立在定義和公理之上的一級定理：

由於這些定理可使用的證明條件太少，只能用反證法才能證明。而建立在定義、公理與一級定理之上的二級定理，以及在邏輯鏈中更靠後的三級定理、四級定理等等，由於已被證明的定理數目越來越多，因此對於邏輯鏈中更靠後的定理，有更多的證明條件可以使用，常常不必使用反證法就可以得證。而公理本身是不證自明的，它們是數學邏輯體系的起點（基石），這已經是數學知識的底線了。如果你不接受它們，你認同的所有數學命題都不成立。

4.證明一個集合有無窮多個元素：

① 用反證法。即證明如果它是有限的，則會存在矛盾；

② 與另外一個無窮集合建立映射，這時加進來的已知無窮集合作為引理出現。

證明質數有無窮多個，歐幾里得的證明就是反證法。

再如，證明不存在最大的自然數。如果從正面去證明的話，相當於列舉自然數，然而我們在有限的步驟中完成，因此直接證法行不通。於是，利用排中律轉化為：對於所有自然數n，存在一個自然數m，使得m>n。這幾乎是顯然的。

總之，只要承認證明過程中只能在有限的步驟中完成，那么關於無窮的問題，我們也只能利用排中律轉化為有窮來證明。

依據

反證法所依據的是邏輯思維規律中的“矛盾律”和“排中律”。 在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。

反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，於是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。

使用方法

運用反證法證明命題的第一步是：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。在這一步驟中，必須注意正確的反設，這是正確運用反證法的基礎、前提，正確作出反設，是使用反證法的一大關鍵否則，如果錯誤地“否定結論”，即使推理、論證再好也都會前功盡棄。要想正確的做出反設，必須注意以下幾點：

（1）分清命題的條件與結論,結論與反設間的邏輯關係。

（2）結論的反面常常不止一種情形，則需反設後，分別就各種情況歸謬，做到無一遺漏。

總之，在否定命題的結論之前，首先要弄清命題的結論是什麼，當命題的結論的反面非常明顯並且只有一種情形時是比較容易做出否定的，但命題的結論的反面是多種情形或者比較隱晦時，就不太容易做出否定。這時必須認真分析、仔細推敲，在提出“假設”後，再回過頭來看看“假設”的對立面是否恰是命題的結論。

範例

證明：素數有無數個。

這個古老的命題最初是由古希臘數學家歐幾里德（Euclid Alexandra，生活在亞歷山大城，約前330～約前275，是古希臘最享有盛名的數學家）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法：

假設命題不真，則只有有限多個素數，設所有的素數是

此時，令, 那么所有的 顯然都不是N的因子，那么有兩個可能：或者N有另外的素數真因子，或者N本身就是一個素數，但是顯然有N> .無論是哪種情況，都將和假設矛盾。這個矛盾就完成了我們的證明，所以確實有無數個素數！

證明： 是無理數。

假設命題不真，則 為有理數，設 ，即最簡分數的形式。

則 ，

所以 為偶數，則 為偶數，可表示為

則

所以

則 也為偶數

所以 和 有公因數2，與 為最簡分數矛盾

所以 為無理數

這個證明簡短而又有力，充分體現了證明者的智慧，也體現出數學的概括性和美麗。