《對於正規形理論中的若干問題的研究及其套用》是依託東南大學，由吳昊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：對於正規形理論中的若干問題的研究及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳昊
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
近年來，正規形理論蓬勃發展，不僅研究的範圍逐漸擴大，而且研究的深度亦不斷增加。前者主要體現在研究的對象從擬(概)周期系統、帶有時滯或控制項系統，擴展到包括隨機動力系統,乃至更廣的滿足非一致指數二分譜的種種非自治系統;後者主要表現在對正規形概念本身內涵的不斷挖掘：從經典定義，到帶有指數小餘項，幾乎可約，甚至是超可微（ultra-differential）拓撲正規形等相關概念日益豐富。..為了應對這些新情況，本項目的主要目的就是在原有工作積累的基礎上，借鑑處理擬周期和隨機系統正規形時的經驗，對於更廣的系統，即線性部分滿足非一致指數二分譜的非自治系統，建立相應的正規形收斂性定理並研究它們和不變流形定理之間的關係。同時，推廣經典的Siegel定理，在擬解析甚至超可微拓撲下，對於正規形的收斂性和不同小除數條件的關係開展研究。另外，我們還將就其它的一些同行們比較關心的問題開展一些討論。
結題摘要
近年來，正規形理論蓬勃發展，不僅其研究的範圍逐漸擴大，而且研究的深度亦不斷增加。本項目主要研究了超可微拓撲下正規形的新性態，並建立了其與向量場層（foliation）上的幾何性態之間的關聯。主要接受和發表了如下結果：1，我們發現了在Gevrey光滑性下，即使有Siegel小除數，也可以通過加權模技術來精確的把非線性項的特性通過共軛不變數表示出來。2，通過考察平面鞍點附近的monodromy來刻畫附近層上的葉子的分形維數，3，參於討論解決一些NLS方程，反轉系統的擬周期解的存在性，Liouville小除數下線性方程的約化等問題。目前我們取得的結果，充分說明了超可微拓撲在正規形研究中的重要性，它不僅能處理更多的小除數條件，而且還能更好的刻畫非線性項，從而可以把動力系統的不同分支聯繫起來。
