相對論波爾茲曼方程若干問題的研究

《相對論波爾茲曼方程若干問題的研究》是依託中山大學，由姜正祿擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：相對論波爾茲曼方程若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：姜正祿
• 依託單位：中山大學

中文摘要

本項目研究在各種不同條件下相對論波爾茲曼方程和相對論恩斯科格方程初值問題整體解的存在性和唯一性。構想給出某些硬碰撞假設或其它合理的假設，分別在閔可夫斯基時空中和在比安奇時空中探究在這些假設下初值較麥克斯韋分布小且初始能量無限的無外力的相對論波爾茲曼方程和相對論恩斯科格方程初值問題整體解存在性和唯一性。如果初值較麥克斯韋分布小這個條件替換成初值臨近麥克斯韋分布，其它條件不變，試想研究類似初值問題整體解的存在性和唯一性。除去以麥克斯韋分布為標準的初值條件，構想給出其它合理的能量無限的初始假設，進一步研究這類問題整體解的存在性或唯一性。另外,還考慮有外力作用下的相關問題。.在相對論運動論中，這兩個方程都是非常重要的。它們在天文學、等離子物理和核物理等鄰域中的套用非常廣泛, 解決它們的初值問題可為人們數值求解提供可靠的理論依據。

結題摘要

相對論動力學適合於確定高速運動粒子系統的輸運係數, 特別是中微子或光子系統. 其中相對論方程非常重要, 在天文學、等離子物理和核物理等領域中的套用非常廣泛. 相對論Boltzmann方程作為相對論動力學中最重要的方程之一, 對它的研究已有很久的歷史了. 對這個方程的研究大體上可以分為四個方面: (1) 相對論Boltzmann方程的推導；(2) 它的相對論動力學極限；(3) 它的Chapman-Enskog近似和動力學模型；(4) 它的Cauchy問題解的存在性和唯一性. 近來, 第四方面的研究進展最大. 本項目就在此背景下展開相對論Boltzmann方程Cauchy問題適定性的研究. 主要研究內容是, 釐清經典和相對論Boltzmann方程的各種表示形式、性質及其解的不同形式, 研讀該方程解的各種不同的研究方法及其套用. 主要有兩個成果. 第一個成果是給出相對論輸運方程解的平均正則性. 採用Golse等人的方法, 在某些合理假設條件下給出一類帶有相對論Boltzmann方程微分運算元的輸運方程的解的平均正則性. 這種平均正則性是在分數Sobolev空間中討論的, 它非常有益於研究相對論 Boltzmann方程Cauchy問題解的存在性. 第二個成果是證明外力場下的Boltzmann-Enskog方程整體解的穩定性. 考慮只依賴於時間和空間變數的外力場, 在此外力場下的Boltzmann-Enskog方程形式上只保持系統的質量守恆, 而且熵泛函不增. 對於這類方程, 先給它的特徵方程組設定一些合理假設, 藉助兩個新的Lyapunov泛函獲得關於它的整體解穩定性的一些結果: 一個泛函描述帶有不同速度的粒子之間的相互作用, 另一個檢測兩個溫和解之間的距離. 前一個Lyapunov泛函可導致整體經典解關於時間漸近收斂於碰撞自由運動, 而後一個用來驗證有關描述外力場下中等稠密或高密氣體的Boltzmann-Enskog方程整體溫和解的穩定性.