《實分析與泛涵分析》是一本高等教育出版社出版的圖書，作者是匡繼昌。
基本介紹
- 中文名：實分析與泛涵分析
- 作者：匡繼昌
- 出版社：高等教育出版社
- 出版時間：2002年8月1日
- 頁數：366 頁
- 開本：16 開
- ISBN：7040112345
- 語種：簡體中文
內容簡介,圖書目錄,序言,
內容簡介
《實分析與泛涵分析》是教育部“高等師範教育面向21世紀教學內容和課程體系改革計畫”的研究成果。 《實分析與泛涵分析》通過改革和創新，用集合（通過引入各種結構）和映射將傳統的“實變函式論”、“測度論”、“泛函分析”三門課融合為一門新的“現代分析”基礎教程，使之保持了適當的理論深度和較高學術水平，使讀者用較少的時間就能掌握現代分析中的最有用的核心內容和方法技巧；同時，《實分析與泛涵分析》起點低，只要求讀者具有初等微積分和高等代數初步知識，對不同專業和不同層次的教學有較大的選擇空間，因而《實分析與泛涵分析》有廣泛的讀者面，可作為大學數學專業本科生和碩士研究生的教材或教學參考書，也可供廣大科技人員參考。
圖書目錄
第一章 預備知識
§1集合的運算
習題1．1
§2集合間的映射
習題1．2
§3集合的基數．
附錄一基數分別為口c 2的集合舉例
第二章 點集的拓撲概念
§1距離空間中的拓撲概念
習題2．1
§2連續性
§3R中開集、閉集的構造，Cantor集
習題2．3
§4覆蓋
第三章 測度論
§1R中的Lebesgue外測度
習題3．1
§2R中的Lebesgue測度
習題3．2(一)
習題3．2(二)
§3抽象外測度與測度
第四章 可測函式
§1可測函式的定義及其基本性質
習題4．1
§2可測函式列的收斂性
習題4．2
§3可測函式的結構(Luzin定理)
習題4．3
第五章 積分論
§1Lebesgue積分的定義
§2(L)積分的初等性質
習題5．2
§3(L)積分列的極限定理
習題5．3
§4(L)積分與(R)積分的關係，(L)積分的推廣
習題5．4
§5Fubini定理
第六章 微分論
§l覆蓋與極大函式
習題6．1
§2Lebesgue微分定理
習題6．2
§3單調函式
習題6．3
習題6．4
§5不定積分
習題6．5
第七章 抽象空間論
§1距離空間續論
習題7．1
§2賦范線性空間
習題7．2
§3內積空間
習題7．3
§4常用的函式空間與序列空間
習題7．4
§5內積空間中的FOurier分析
習題7．5
第八章 抽象空間之間的映射
§1有界線性運算元與有界線性泛函
習題8．1
§2運算元空間與共軛空間
習題8．2
§3有界線性泛函的表示
習題8．3
§4共鳴定理
習題8．4
§5開映射定理
習題8．5
§6運算元與泛函的延拓
習題8．6
§7共軛空間與共軛運算元
習題8．7
第九章 實分析與泛函分析續論
§l集合基數基本定理的證明
§2連續性基本定理的證明，半連續性，Baire函式類
習題9．2
§3測度論(第三章 )續論
§4可測函式(第四章 )續論
§5積分論(第五章 )續論，廣義測度
§6微分論(第六章 )續論，凸函式
§7抽象空間論(第七章 )續論，商空間，Banach不動點定理
習題9．7
§8抽象空間之間的映射(第八章 )續論，譜分析，廣義函式
習題9．8
參考文獻
序言
多年來我先後在四所大學從事數學教學和科研工作，在與同事們和研究生們廣泛接觸的過程中，獲得的一個總的印象是，凡是在經典分析、泛函分析、機率理論、微分方程及計算數學諸分支領域能勝任且愉快地進行教學和科研工作的，幾乎無例外地都具有堅實的“實分析”（又名“實變函式論”）基礎。我也曾不止一次地講授過實變函式論課程，發現大多數學生們學習這門課程的成績高低，往往反映出他們的數學思維能力素質的高低。
後來讀了一點數學史，才理解上述現象是很自然的。事實上，實分析的大部分理論模式及其構造方法是在微積分發明200年後，通過人們不斷對數學基礎問題的反思，才逐步發展成型的。實分析自然是一門極精緻的數學，具有很高的抽象度，所以按照現代認知心理學和知識建構的規律來看，初學者需要不斷提升自己的抽象思維素質，才能將實分析的理論模式在頭腦中完成相應的“建構過程”。這樣說來，初學者即使感到實分析中的概念和理論不易很快領悟或精通，也就不足為怪了。
上世紀50年代至60年代，國內曾廣泛採用俄羅斯數學家那湯松的《實變函式論》作教材，我也用過這教材，認為它的習題編選得很好，頗能培育人的分析解題能力。只可惜教材分量太重，要占用學生的時間精力也太多。上世紀70年代以來，國內各地已出版了多種屬於實分析範圍的教本，大多數比較精簡扼要，能符合實際教學需要。
1996年，我見到了湖南師大匡繼昌教授的《實分析引論》，感到它以很小的篇幅居然講述了實變函式論中所有基本重要的題材，確實是一大特色。《引論》之所以具有這一特色的原因是，它自始至終採用了現代數學著作中經常使用的“半形式主義”的表述法。這種表述法，使得數學論述及推理，表現得簡潔、明晰而嚴謹，而又不至於像“純形式主義表述法”（如同數理邏輯中的純符號形式表示法）那樣會令初學者感到索然無味或者望而生畏。當然，《引論》之所以能做到篇幅小而內容多，也和作者運用了數學方法論中的“RMI原則”（關係映射反演原則）有關，因為這一方法原則的使用能使得傳統的題材內容得到化繁為簡、化難為易的處理。
